Ричард Фейнман - 5a. Электричество и магнетизм

где

и

то

откуда следует

Кривые U (х, у) =А и V (х, у) = В, где U и V взяты из уравнения (7.12), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых этими полями. Один из самых интересных — это поле у края тонкой пластинки. Если линия В=0 направо от оси у изображает тонкую заряженную пластину, то линии поля близ нее даются кривыми с различными А.

Фиг. 7.4. Кривые постоянных U(x, у) и V(x, у) ив уравнения (7.12).

Фиг. 7.5. Электрическое поле возле края тонкой за­земленной пластины.

Физическая картина показана на фиг. 7.5. Дальнейшие примеры — это функция

(7.13)

дающая нам поле снаружи прямого угла, функция

(7.14)

дающая поле заряженной нити, и функция

(7.15)

изображающая поле двумерного аналога электрического ди­поля, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противо­положным знаком и помещенных вплотную друг к другу.

Больше этим вопросом в нашем курсе мы заниматься не бу­дем; мы должны только подчеркнуть, что, хотя техника комп­лексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.

§ 3. Колебания плазмы

Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов. Ины­ми словами, полем управляют одновременно две системы урав­нений: 1) уравнения электростатики, связывающие электриче­ское поле с распределением зарядов; 2) уравнения из другой области физики, определяющие положение или движения за­рядов в поле.

Сперва мы разберем один динамический пример. В нем дви­жение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей наблюдается в плазме, в ионизованном газе, состоящем из ионов и свободных электронов распределенных в какой-то области пространства. Ионосфера (верхний слой атмосферы) служит примером такой плазмы. Ультрафиолетовые лучи Солнца отрывают от молекул воздуха электроны и создают свободные электроны и ионы. В плазме положительные ионы намного тяжелее электронов, так что можно пренебречь движением в ней ионов но сравнению с дви­жением электронов.

Пусть n 0 будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии. Такой же должна быть и плотность положительных ионов, потому что в невозмущенном состоянии плазма нейтральна. Теперь допустим, что электроны каким-то образом выведены из равновесия. Что тогда получится? Если плотность электронов в какой-то области возросла, они начнут отталкиваться и стремиться вернуться в прежнее положение равновесия. Двигаясь к своим первоначальным положениям, они наберут кинетическую энергию и вместо того, чтобы заме­реть в равновесной конфигурации, проскочат мимо. Начнутся колебания. Нечто похожее наблюдается в звуковых волнах, но там возвращающей силой было давление газа. В плазме воз­вращающая сила — это действующее на электроны электриче­ское притяжение.

Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным движением электронов — скажем, в направлении x;. Предположим, что электроны, первоначально находившиеся в точке х, к моменту t сместились из положения равновесия на расстояние s (x, t). Раз они сместились, то плотность их, вообще говоря, изменилась. Это изменение подсчитать легко. Если посмотреть на фиг. 7.6, то видно, что электроны, вначале нахо­дившиеся между плоскостями а и b, сдвинулись и теперь нахо­дятся между плоскостями а' и b '. Количество электронов между а и b прежде было пропорционально n 0 D х; теперь то же их ко­личество находится в промежутке шириной Dx+Ds.

Фиг. 7.6. Движение волны в плазме.

Электроны от плоскости а сдвига­ются к а', а от b —к b'.

Плотность

теперь стала

(7.16)

Если изменение плотности мало, то можно написать [заменяя с помощью биномиального разложения (1+e) -1на (1-e)]

(7.17)

Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда больше), так что плот­ность их осталась прежней, n 0.Заряд каждого электрона -q e , и средняя плотность заряда в любой точке равна

или

(7.18)

(здесь Ds/Dx записано через дифференциалы).

Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью заря­дов электрическое поле. В частности,

(7.19)

Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического поля Е есть одна-единственная составляющая Е х . Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к

(7.20)

Интегрируя (7.20), получаем

(7.21)

Постоянная интегрирования К равна нулю, потому что Е х =0 при s=0.

Сила, действующая на смещенный электрон, равна

(7.22)

т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению s элект­рона. Это приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеет вид