Ричард Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты

(30.8)

На фиг. 30.2 показан ход этой предельной зависимости.

В данном случае дифракционная картина в общих чертах получается такой же, как и для конечного промежутка d>l, те же боковые максимумы, нет только максимумов высших по­рядков. Когда все рассеиватели находятся в фазе, возникает максимум в направлении q вых=0 и минимум при D =l, в точ­ности как для конечных d и n.Таким образом, оказывается воз­можным рассмотреть непрерывное распределение рассеивателей или осцилляторов, используя интегралы вместо сумм.

Для примера возьмем длинную линию, составленную из ос­цилляторов, которые колеблются вдоль нее (фиг. 30.5). Такое устройство дает максимальную интенсивность в направлении, перпендикулярном нити. Кверху и книзу от экваториальной плоскости имеется небольшая интенсивность, но она очень мала. Пользуясь этим результатом, перейдем к более сложному устрой­ству. Предположим, у нас имеется целый набор нитей, каждая из которых излучает в экваториальной плоскости. Если мы на­ходимся в центральной плоскости, перпендикулярной всем проволокам, интенсивность излучения набора длинных линий в разных направлениях определяется так же, как и в случае бесконечно коротких линий,— нужно сложить вклады от всех длинных проволок.

Фиг. 30.5. Распределение интен­сивности излучения непрерывной линии осцилляторов имеет высокий центральный максимум и много­численные слабые боковые максиму­мы.

Вот почему вместо крошечных решеток — антенн, которые мы рассматривали, можно было бы использо­вать решетки с длинными и узкими щелями. Каждая из длинных щелей излучает в своем собственном направлении не вверх и не вниз, а только перпендикулярно щели, и, поставив их рядом друг с другом в горизонтальной плоскости, мы получим интер­ференцию.

Таким образом, можно создать еще более сложные устрой­ства, размещая рассеиватели по линии, в плоскости или в про­странстве. Сначала мы располагали рассеиватели на линии, а затем проанализировали случай, когда они заполняют полосу; для получения ответа каждый раз нужно было просуммировать вклады отдельных рассеивателей. Последний принцип справед­лив во всех случаях.

§ 3. Разрешающая способность дифракционной решетки

Теперь мы способны понять еще ряд интересных явлений. Например, попробуем использовать решетку для определения длины волны света. На экране изображение щели развертывает­ся в целый спектр линий, поэтому с помощью дифракционной решетки можно разделить свет по составляющим его длинам волн.

Возникает интересный вопрос: предположим, что имеются два источника с несколько разными частотами излучения или не­сколько разными длинами волн; насколько близкими должны быть эти частоты, чтобы по дифракционной картине нельзя было отделить одну частоту от другой? Красные и синие линии четко различаются. А вот если один луч красный, а другой чуть-чуть покраснее, самую малость. Насколько близки они должны быть? Ответ дается величиной, которая называется разрешающей спо­собностью решетки. Ниже мы используем один из способов ее определения.

Предположим, что удалось найти дифракционный максимум для лучей определенного цвета, расположенный под некоторым углом. Если мы изменим длину волны, то и значение фазы (2pdsinq)/l будет иным и максимум, разумеется, возникнет при каком-то другом угле. Именно поэтому красные и синие полосы на экране разделяются. Насколько должны отличаться углы, что­бы мы смогли различить два разных максимума? Если верхушки максимумов совпадают, мы, конечно, не сможем различить их один от другого. Если же максимумы достаточно далеки друг от друга, то на картине распределения света возникают два горба.

Фиг. 30.6. Иллюстрация крите­рия Рэлея. Максимум одного распределения совпа­дает с минимумом другого.

Чтобы заметить, когда начинает вырисовываться двойной горб, лучше всего воспользоваться простым правилом, называемым обычно правилом (или критерием) Рэлея, (фиг. 30.6). По этому правилу первый минимум на дифракционной картине для одной длины волны должен совпадать с максимумом для другой длины волны. Теперь уже нетрудно вычислить разность длин волн, когда один минимум в точности «садится» на максимум другого пучка. Лучше всего для этого воспользоваться геометрическим способом.

Чтобы возник максимум при длине волны l ', расстояние D (см. фиг. 30.3) должно быть равно nl', а чтобы возник мак­симум порядка m, расстояние D должно быть равно mnl'. Дру­гими словами, (2pd/ l '), sin q=2pm и nd sin q , равное D, есть l ', умноженная на тп, или соответственно mnl'. Если мы хотим, чтобы под тем же углом для другого луча с длиной волны l , появился минимум, расстояние D должно превышать тпl ровно на одну длину волны l, т. е. D= тпl+l =тпl'. Отсюда, полагая l '= l +d l ,, получаем

(30.9)

Отношение l /d l , называется разрешающей способностью диф­ракционной решетки; она равна, как видно из формулы, пол­ному числу линий в решетке, умноженному на порядок макси­мума луча. Легко убедиться, что эта формула эквивалентна сле­дующему утверждению: разность частот должна быть равна обратной величине разности времен прохождения для самых крайних интерферирующих лучей

sv=1/T

Полезно запомнить именно эту общую формулу, потому что она применима не только для решеток, но и для любых устройств, тогда как вывод формулы (30.9) связан со свойствами дифрак­ционных решеток.

§ 4. Параболическая антенна

Рассмотрим теперь еще один вопрос, связанный с разреша­ющей способностью. Речь идет об антеннах радиотелескопов, использующихся для определения положения источников ра­диоволн на небе и их угловых размеров. Если бы мы взяли нашу старую антенну и с ее помощью приняли сигналы, то, конечно, не могли бы сказать, откуда они пришли. А знать, где находится источник, очень важно. Можно, конечно, покрыть всю Австра­лию проводами-диполями, расположенными на равном расстоя­нии друг от друга. Затем подсоединить все диполи к одному приемнику так, чтобы уравнять запаздывание сигналов в сое­динительных проводах. Тогда сигналы от всех диполей придут к приемнику с одной фазой. Что в результате получится? Если источник расположен достаточно далеко и прямо над нашей си­стемой, то сигналы от всех антенн придут к приемнику в фазе.

Но предположим, что источник расположен под небольшим углом 9 к вертикали. Тогда сигналы, принятые различными антеннами, будут немного сдвинуты по фазе. В приемнике все эти сигналы с разными фазами складываются, и мы ничего не получим, если только угол 6 достаточно велик. Но как велик должен быть этот угол? Ответ: мы получим нуль, если угол D/L=0 (см. фиг. 30.3) соответствует сдвигу фаз в 360°, т. е. если D равно длине волны l.