Ричард Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

Фиг. 23.11. Зависимость эф­фективных сечений реакций от величины момента количества дви­жения.

Нижняя кривая описывает нерезонанс­ный фон; верхняя кривая показывает, что на зтот фон наложено резонансное сечение.

Это очень интересная кривая. Она соответствует ре­зонансу в реакциях со стран­ными частицами (K --мезоны и протоны). Резонанс был об­наружен при измерении ко­личества частиц разных сор­тов, получающихся в резуль­тате реакции. Разным про­дуктам реакции соответствуют разные кривые, но в каждой из них при одной и той же энергии есть пики примерно одинаковых очертаний. Зна­чит, при определенной энергии K --мезона существует резо­нанс. При столкновении К - -мезонов и протонов, наверное, создаются благоприятные для резонанса условия, а может быть, даже новая частица. Сегодня мы еще не можем сказать, что такое эти выбросы в кривых — «частица» или просто ре­зонанс. Очень узкий резонанс соответствует очень точно от­меренному количеству энергии; это бывает тогда, когда мы имеем дело с частицей. Когда резонансная кривая уширяется, то становится трудно сказать, с чем мы имеем дело — с части­цей, которая живет очень мало, или просто с резонансом в реак­ции. В гл. 2 мы отнесли эти резонансы к частицам, но когда писалась та глава, об этом резонансе еще не было известно, по­этому нашу таблицу элементарных частиц можно дополнить!

§ 1. Энергия осциллятора

§ 2. Затухающие колебания

§ 3. Переходные колебания в электрических цепях

§ 1. Энергия осциллятора

Хотя глава названа «Переходные решения», речь здесь все еще в основном идет об осцил­ляторе, на который действует внешняя сила. Мы еще ничего не говорили об энергии колеба­ний. Давайте займемся ею.

Чему равна кинетическая энергия осцил­лятора? Она пропорциональна квадрату скоро­сти. Здесь мы затронули важный вопрос. Пред­положим, что мы изучаем свойства некоторой величины А; это может быть скорость или еще что-нибудь. Мы обратились к помощи ком­плексных чисел: A==Вехр(iwt), но в физике праведна и чтима только действительная часть комплексного числа. Поэтому если вам для чего-нибудь понадобится получить квадрат А, то не возводите в квадрат комплексное число, чтобы потом выделить его действительную часть.

Действительная часть квадрата комплексно­го числа не равна квадрату действительной ча­сти, она содержит еще и мнимую часть первона­чального числа. Таким образом, если мы захо­тим найти энергию и посмотреть на ее превра­щения, нам придется на время забыть о комп­лексных числах.

Итак, истинно физическая величина А — это действительная часть A 0exp[i(wt+D)], т. е.

A=A 0соs(wt+D), а комплексное число А — это j4oexp(iD). Квадрат этой физической величины равен A 2 0cos 2(wt+D). Он изменяется от нуля до максимума, как это предписывается квадра­том косинуса. Максимальное значение квадрата косинуса равно 1, минимальное равно 0, а его среднее значение — это 1/ 2.

Зачастую нас совсем не интересует энергия в каждый дан­ный момент колебания; во многих случаях достаточно знать лишь среднюю величину A 2 (среднее значение квадрата А в те­чение времени, много большего, чем период колебаний). При этих условиях можно усреднить квадрат косинуса и доказать теорему: если А представляется комплексным числом, то сред­нее значение А 2равно 1/ 2 A 2 0 . Здесь А 2 0 — это квадрат модуля комплексного числа А. (Квадрат модуля В записывают по-раз­ному;

| В | 2или ВВ *— в виде произведения числа В на комплек­сно сопряженное.) Эта теорема пригодится нам еще много раз.

Итак, речь идет об энергии осциллятора, на который дейст­вует внешняя сила. Движение такого осциллятора описывается уравнением

Мы, конечно, предполагаем, что F(t) пропорциональна coswt. Выясним теперь, много ли приходится этой силе работать. Ра­бота, произведенная силой в 1 сек, т. е. мощность, равна произ­ведению силы на скорость. [Мы знаем, что работа, совершаемая за время dt, равна Fdx, а мощность равна F(dx/dt).] Значит,

Как легко проверить простым дифференцированием, первые два члена можно переписать в виде (d/dt)][ l / 2 m(dx/dt) 2 + 1 / 2 mw 2 x 2 ]. Выражение в квадратных скобках — производная по времени суммы двух членов. Это понятно; ведь первый член суммы — кинетическая энергия движения, а второй — потенциальная энергия пружины. Назовем эту величину запасенной энергией, т. е. энергией, накопленной при колебаниях. Давайте усред­ним мощность по многим циклам, когда сила включена уже давно и осциллятор изрядно наколебался. Если пробег длится долго, запасенная энергия не изменяется; производная по вре­мени дает эффект, в среднем равный нулю. Иными словами, если усреднить затраченную за долгое время мощность, то вся энергия поглотится из-за сопротивления, описываемого членом gm(dx/dt) 2 . Определенную часть энергии осциллятор, конечно, запасет, но если усреднять по многим циклам, то количество ее не будет меняться со временем. Таким

образом, средняя мощ­ность

равна

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что < А 2 >= 1 / 2 A 2 0 , легко найти эту среднюю мощность. Так как

, то . Следовательно, средняя мощность равна

= 1/ 2gw 2x 2 0. (24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx/dt надо заменить на ток I (I — это dq/dt, где q соответствует х), а gm — на сопро­тивление R. Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

<���Р>=R2>=R l/ 2I 2 0. (24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопро­тивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.