Александр Волошинов - Математика и искусство

Вообще, убеждение в том, что архитектура — это наука и что красота здания определяется симметрией и математическими законами гармонии, можно считать главной аксиомой архитектуры Возрождения. Мыслители Возрождения были неоплатониками. Они верили в то, что платонов гептахорд (7.1), который содержит все консонансы, определяет гармонию мироздания, а значит, и единую гармонию всех искусств, а значит, и архитектуры.

И все-таки Палладио был больше архитектором, нежели философом-неоплатоником. Именно поэтому Палладио включил прямоугольник, стороны которого равны стороне и диагонали квадрата, т. е. прямоугольник с иррациональным соотношением сторон √2:1, в список семи форм,

рекомендуемых для планирования комнат. А ведь одного этого прямоугольника достаточно для того, чтобы полностью разрушить музыкальную аналогию в архитектуре.

В самом деле, как мы помним, интервал тритона √2:1 является острейшим диссонансом в музыке и назывался "дьяволом в музыке". С другой стороны, мы знаем, насколько широко парная мера √2:1 применялась в архитектуре. Знали это и архитекторы Возрождения. И не только из сочинений Витрувия. Достаточно вспомнить проект собора, выполненный Леонардо да Винчи и основанный на последовательности восьмиконечных звезд. Разбиение окружности на 8 равных частей порождает угол в 45°, а восьмиконечная звезда — систему равнобедренных прямоугольных треугольников, т. е. треугольников с соотношением √2:1.

Таким образом, красота архитектурных форм явно не умещалась в прокрустово ложе целочисленных отношений. Это понимали архитекторы Позднего Возрождения, и это было для них такой же трагедией, какой открытие несоизмеримости было для их кумиров — пифагорейцев. "Можно сказать, что Ренессанс вообще раздирается этим ужасающим противоречием: возрожденцам хотелось видеть и изображать живое и одушевленное трехмерное тело и в то же самое время им хотелось все свести на арифметику целых чисел" (А. Лосев. "Эстетика Возрождения").

Тем не менее музыкальная аналогия в архитектуре оставалась очень популярной и продолжала жить в творчестве архитекторов-палладианцев XVII и XVIII веков. А попытки примирить музыку архитектуры с иррациональными отношениями не прекращаются и в XX веке. Так, одни исследователи пропорций обращают внимание на то, что золотое сечение Φ = 1,618... достаточно хорошо аппроксимируется (приближенно выражается) отношениями членов ряда Фибоначчи (15.6): 5/3-1,666... и 8/5-1,6 (это большая и малая сексты в музыкальной терминологии). Действительно, без наложения друг на друга эти три пропорции отличить практически невозможно, и, таким образом, с точки зрения эстетического восприятия споры о преимуществах той или иной пропорции кажутся академическими. Другие объясняют "приятность для глаза" диссонантных иррациональных отношений тем, что при восприятии архитектурной формы глаз соизмеряет не линейные размеры, а площади поверхности. Тогда два квадрата с "немузыкальным" отношением сторон √2:1 дают "музыкальное" отношение площадей 2:1 (октаву). Квадраты с немыслимым в музыке соотношением сторон √3:√2 дадут в площадях квинту 3:2 и т. д.

Мы не будем вдаваться в обсуждение вопроса, почему одни отношения приятны для слуха или для глаза, а другие — нет. Несмотря на давнюю историю, вопрос этот на карте науки остается почти абсолютно белым пятном. Напомним, что консонансы в музыке Гельмгольц объяснял отсутствием неприятных биений между обертонами составляющих их гармоник (см. с. 151). Однако в настоящее время в теории Гельмгольца обнаружено много изъянов и восприятие консонансов не считается чисто физиологическим явлением. Тем более нет каких-либо установившихся соображений для объяснения эстетики восприятия тех или иных пропорций. "Не углубляясь еще дальше в эту спорную область, хотелось бы подчеркнуть большое значение какой бы то ни было теории в архитектурном проектировании". Этими словами известный английский математик и знаток искусства Дан Пидоу в книге "Геометрия и искусство" закончил обсуждение проблемы эстетики восприятия музыкальных пропорций в архитектуре. Конечно, нам следовало бы внять его мудрому примеру, но хочется сказать еще два слова вот о чем.

В 1830-1834 гг. немецкий физиолог Эрнст Вебер (1795-1878) на основании многочисленных экспериментов установил, что человек воспринимает не абсолютный, а относительный прирост силы раздражителя (света, звука, груза, давящего на кожу, и т. д.), т. е. dR/ R, где R — сила раздражителя, dR — прирост этой силы. Каждый по своему жизненному опыту знает, что, например, электрическая лампочка, включенная днем, не вызывает у нас никакой реакции, так как по отношению к солнечному свету прирост этой силы раздражения слишком мал( , так как R велико). Зато в темноте нас слепит даже зажженная спичка (здесь так как R≈0). R

20 лет спустя немецкий физик, психолог, философ и писатель Густав Фехнер (1801 -1887) математически обработал результаты экспериментов Вебера, т. е. на языке математики записал факт, установленный Вебером: приращение интенсивности ощущения dE пропорционально относительному приращению силы раздраения dR/ R

(18.1)

здесь а — коэффициент пропорциональности. Получилось простейшее дифференциальное уравнение, решая которое Фехнер нашел связь между интенсивностью ощущения Е и силой раздражения R, действующей на какой-либо орган чувств:

(18.2)

или

(18.3)

здесь R 0— сила начального раздражения.

Формулы (18.1) — (18.3) и есть математическое выражение основного психофизического закона — закона Вебера — Фехнера .

Согласно закону Вебера — Фехнера, для того, чтобы интенсивность ощущений Е нарастала в арифметической прогрессии, вызывающая их сила раздражения R должна нарастать в геометрической прогрессии

Что же мы можем извлечь из закона Вебера — Фехнера? Естественно предположить, что нам будет приятно, если наши ощущения в процессе восприятия музыки или архитектуры будут нарастать равномерно, т. е. в арифметической прогрессии. Положим Е n= Е 0+ α n(n = 0, 1, 2, ...; α — разность арифметической прогрессии). Тогда согласно (18.3) вызывающая эти ощущения сила раздражения должна нарастать по закону