Сергей Гашков - Примени математику

2.2. Делимость на 25Докажите, что данное число делится на 25 в том и только в том случае, если на 25 делится число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух последних. Укажите, какие в этом случае могут быть две последние цифры числа.

2.3. Степени пятеркиСформулируйте и докажите признак делимости на 5 kпри k = 1, 2, 3, ...

2.4. Степени двойкиСформулируйте и докажите признак делимости на 2 и вообще на 2 kпри k = 1, 2, 3, ...

2.5. Упрощение для 4Согласно общему признаку делимости на 2 k, чтобы узнать, делится ли данное число на 4, достаточно проверить, делится ли на 4 число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух последних.

Как можно упростить проверку делимости двузначного числа на 4?

2.6. Упрощение для 8Согласно общему признаку делимости на 2к, чтобы узнать, делится ли данное число на 8, достаточно проверить, делится ли на 8 число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме трех последних.

Как можно упростить проверку делимости трехзначного числа на 8?

2.7. По сумме цифрДокажите, что любое число при делении как на 3, так и на 9 дает тот же остаток, что и сумма его цифр.

2.8. Упрощение для 3Согласно утверждению задачи 2.7, данное число делится на 3 в том и только в том случае, если на 3 делится сумма его цифр.

Как можно упростить проверку делимости суммы цифр числа на 3, не находя самой этой суммы?

2.9. Упрощение для 9Согласно утверждению задачи 2.7, данное число делится на 9 в том и только в том случае, если на 9 делится сумма его цифр.

Как можно упростить проверку делимости суммы цифр числа на 9, не находя самой этой суммы?

2.10. Только 3 и 9Докажите, что если признак делимости на число m (большее 1) не зависит от порядка цифр делимого, то само число m может быть равно только 3 или 9.

2.11. Проверка сложенияВы сложили несколько чисел и хотите проверить правильность своих вычислений. Для этого можно поступить следующим образом: найти остаток от деления на 9 суммы цифр полученного ответа, затем найти остаток от деления на 9 общей суммы цифр всех слагаемых. Если указанные два остатка не совпадут, то в вычислениях имеется ошибка. Дайте объяснение предложенному способу проверки сложения.

Придумайте аналогичный способ проверки вычисления алгебраической суммы, т. е. суммы нескольких целых чисел разных знаков.

2.12. Проверка умноженияВы перемножили несколько чисел и хотите проверить правильность своих вычислений. Для этого можно поступить следующим образом: найти остаток от деления на 9 суммы цифр полученного ответа, затем перемножить остатки от деления на 9 суммы цифр каждого из сомножителей и найти остаток от деления на 9 этого произведения, Если указанные два остатка не совпадут, то в вычислениях имеется ошибка.

Дайте объяснение предложенному способу проверки умножения. Придумайте аналогичный способ проверки деления (возможно, с остатком).

2.13. Надежна ли проверка?В задачах 2.11 и 2.12 приведены способы проверки вычислений, которые позволяют усомниться в правильности произведенных выкладок в случае несовпадения некоторых остатков от деления на 9.

Можно ли утверждать, что если указанные остатки совпали, то вычисления не содержат ошибок?

Можно ли это утверждать при условии, что вы ручаетесь за правильность всех цифр полученного в ответе числа, кроме, быть может, одной цифры?

2.14. В магазинеВы пришли в магазин и хотите купить 8 одинаковых авторучек, несколько карандашей по 4 копейки, линейку за 9 копеек, 2 общие тетради по 18 копеек и 12 тонких тетрадей. Продавец подсчитал общую стоимость товаров и попросил вас уплатить в кассу 5 рублей 27 копеек.

Как, по-вашему, не ошибся ли продавец?

2.15. Разложив на множителиСформулируйте признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45. Достаточно ли для проверки делимости числа на 24 установить его одновременную делимость на 4 и на 6?

2.16. Признак ПаскаляДля получения признака делимости на m найдем заранее остатки m 1, m 2, m 3,... от деления на m чисел 10 1, 10 2, 10 3,..., соответственно. Для любого числа определим число

f m(n)= n 0+m 1n 1+m 2n 2+. ..+m kn k .

Докажите, что числа n и f m(n) дают одинаковые остатки при делении на m и могут делиться на m только одновременно. Проверьте, что нахождение остатка m k+1при k = 1, 2, 3,... можно осуществить проще, если заметить, что он равен остатку от деления на m числа 10m k, (вместо числа 10 k+1).

2.17. Частные случаиПроверьте, что сформулированные выше признаки делимости на 2, 3, 5 и 9 (см. задачи 2.4, 2.8, 2.1 и 2.9) представляют собой частные случаи признака Паскаля.

2.18. Что лучше?Получите из признака Паскаля признаки делимости на 4 и на 8. Сравните их с предложенными ранее в задачах 2.5 и 2.6.

2.19. Модификация признака ПаскаляДля практического применения признака делимости на m, сформулированного в задаче 2.16, бывает удобнее некоторые из остатков m 1, m 2, m 3,... от деления на m чисел 10 1, 10 2, 10 3,..., Заменить соответствующими недостатками (особенный аффект от такой замены достигается в тех случаях когда недостатки близки к нулю).

Проверьте, что в результата указанной замены признак Паскаля сохранит силу.

2.20. Остаток от деления на 11С помощью модификации признака Паскаля (см. задачу 2.19) придумайте способ, как найти остаток от деления данного числа на 11, не производя самого деления.

Докажите, что данное число делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, совпадает с суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, или отличается от нее на число, кратное 11.

2.21. Еще одна проверка вычисленийПо аналогии со способами, предложенными в задачах 2.11 и 2.12, придумайте способы проверки сложения и умножения, основанные на признаке делимости на 11 (см. задачу 2.20).

Докажите, что если возможная ошибка затрагивает только одну цифру полученного в ответе числа, то наличие ошибки можно установить с помощью одного лишь признака делимости на 11.

2.22. Делимость на 7Пользуясь модификацией признака Паскаля (см. задачу 2.19), сформулируйте признак делимости на 7.

2.23. Разбиение цифр на группыКогда степени десятки дают при делении на m большие остатки и недостатки, эффективность признака Паскаля (см. задачи 2.16 и 2.19) оказывается невелика, поскольку подсчет значения f m(n) в этом случае столь же трудоемок, что и непосредственное деление числа n на m. В такой ситуации существенную роль может сыграть обнаружение степени десятки, дающей маленький по модулю остаток или недостаток при делении на m, что позволяет разбить все цифры делимого на группы и тем самым действительно облегчить проверку делимости многозначных чисел.