Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Способ 2 (или метод загорелых альпинистов): Подойдите к смотрительнице местных красот (желательно симпатичной и дружелюбно настроенной) и предложите ей свой новенький блестящий транспортир в обмен на информацию о высоте горы. Если смотрительниц поблизости не наблюдается, найдите самого загорелого альпиниста (чем сильнее загар, тем больше времени он проводит на вершине и, следовательно, может знать ответ на ваш вопрос). Основное преимущество этого метода – у вас появится новый друг и калькулятор будет цел). Если ответ альпиниста вызовет у вас сомнения, всегда можно забраться на вершину и прибегнуть к способу № 1. Недостатки – у вас могут конфисковать транспортир и обвинить в попытке дать взятку должностному лицу.

Способ 3 (метод указателей): Перед тем как применять способы 1 или 2, поищите внизу табличку, на которой будет указана высота горы. Несомненное преимущество данного метода заключается в том, что вам не придется жертвовать своим оборудованием.

Если же ни один из этих вариантов вас не устраивает, придется поискать более математические методы, о которых и пойдет речь в этой главе.

Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих корней: trigon и metria , сочетание которых буквально означает «измерение треугольника».

Равнобедренный прямоугольный треугольник. Как следует из названия, один из его углов равен 90°, а два других равны между собой, то есть по 45° (не забыли, что сумма углов треугольника равна 180°?). Если предположить, что длина каждого катета составляет 1, то, согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы будет равна √( 1 ² + 1 ²) = √ 2 . И, кстати, такое же соотношение сторон – 1: 1: √ 2 , – будет у каждого равнобедренного прямоугольного треугольника (посмотрите на рисунок).

Треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину, а все углы – по 60°. Если мы разделим такой треугольник на две конгруэнтные части (как показано ниже), у нас получатся два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Если длины всех сторон изначального треугольника равны 2, будут равны и 2 гипотенузы каждой из его прямоугольных половинок. Длины меньших катетов при этом составят 1, а бо́льших, как следует из теоремы Пифагора, – √( 2 ² + 1 ²) = √ 3 . Эта пропорция – 1: √ 3 : 2 – также будет справедлива и в отношении любого треугольника с углами в 30°, 60° и 90° (это просто, как 1, 2, √ 3 ). В частности, при гипотенузе длиной 1 длины катетов составят 1/2 и √ 3 /2.

Единство ( a, b, c ), в котором a, b и c суть положительные целые величины, а a ² + b ² = c ², называют Пифагоровой тройкой . Самая простая из таких троек (и наименьшая по значению величин) – (3, 4, 5). Общее же их количество неограниченно: просто увеличиваем треугольник сначала до (6, 8, 10), затем до (9, 12, 15) и т. д., до скольки угодно, хоть до (300, 400, 500). Но есть куда более интересный и остроумный способ создания таких троек. Возьмите два любых положительных числа m и n , где m > n . Допустим, что

Обратите внимание: a ² + b ² = ( m ² – n ²)² + (2 mn )² = m 4+ 2 m ² n ² + n 4, что равно ( m ² + n ²)² = c ², поэтому тройка ( a, b, c ) является пифагоровой. Например, если m = 2, а n = 1, получим (3, 4, 5); ( m, n ) = (3, 2) даст (5, 12, 13); ( m, n ) = (4, 1) – (15, 8, 17); ( m, n ) = (10, 7) – (51, 140, 149) и т. д. Самое интересное, что с помощью этого метода можно создать абсолютно любую пифагорову тройку (доказательство можно найти в любой книге по теории чисел).

Вся тригонометрия основана на двух очень важных функциях – синусеи косинусе. Возьмем треугольник ABC (вроде того, что изображен чуть ниже) и обозначим длину гипотенузы буквой c , а длины катетов, лежащих напротив ∠ A и ∠ B , – буквами a и b соответственно.

Синус угла ∠ A (который в прямоугольном треугольнике должен быть острым) будем искать по формуле

Косинус этого угла – по формуле

Имейте в виду, что любой прямоугольный треугольник с углом A будет пропорционален нашему изначальному треугольнику, поэтому значения синуса и косинуса A от размеров треугольника не зависят.

Еще одна не менее популярная в тригонометрии функция – тангенс. Для угла A он представляет собой

в прямоугольном треугольнике –

Для всех этих формул есть свои специальные «запоминалки». Один мой знакомый, например, любил повторять: «Сильно противный Глеб, который прилег на гриб, так противно прилег». Здесь «СИльно» означает синус, все «ПРОТИВное» – противолежащий катет, «КОторый» – косинус, «ПРИЛег» – прилежащий катет, «ТАк» – тангенс, а слова, начинающиеся с буквы «г» – гипотенузу (то есть получаем подсказку насчет синуса, потом косинуса, а потом и тангенса).

Итак, в треугольнике с длинами сторон 3, 4 и 5 имеем

А что с углом B ? Аккуратно подсчитаем и получим

то есть синус B будет равен косинусу A , а косинус B – синусу A ! Волшебного в этом абсолютно ничего нет: просто сторона, противолежащая ∠ A , является прилежащей к ∠ B , и наоборот – сторона, прилежащая к ∠ A , является противолежащей ∠ B . Гипотенуза же у этих двух углов так и вовсе одна на двоих.

Так как ∠ A + ∠ B = 90°, мы можем сделать вывод, что для любого острого угла справедливо следующее: