Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

То есть если в треугольнике ABC ∠ A равен 40°, то при ∠ B = 50° sin 50° = cos 40°, а cos 50° = sin 40°. Другими словами, косинус данного угла (40°) равен синусу дополнительного (50°).

Кроме синуса, косинуса и тангенса в тригонометрии есть еще три элементарные функции. Используются они, правда, не так часто, как уже известные нам, но почему бы не упомянуть и их? Это секанс, косеканси котангенс, и смысл их заключается в том, что

Приставка «ко-» означает здесь те же отношения дополнения, что и в паре «синус – косинус», а именно: для любого острого угла прямоугольного треугольника sec (90° – A ) = csc A , а tan (90° – A ) = cot A .

Чтобы найти косинусы, тангенсы и все остальное, достаточно знать значение синуса одного из углов, это очевидно. Но ведь и его (скажем, sin 40°) тоже надо как-то найти, правда? Самый простой способ – воспользоваться калькулятором: просто включаем его и узнаем, что sin 40° = 0,642…. Откуда это значение берется, мы узнаем чуть позже.

Некоторые значения тригонометрических функций встречаются в расчетах настолько часто, что лучше всего их просто запомнить. Вернемся к треугольнику с углами 30°, 60° и 90° и вспомним про соотношение его сторон – 1: √ 3 : 2. Получается, что

Стороны же треугольника с углами 45°, 45° и 90° имеют соотношение 1: 1: √ 2 , следовательно

А так как tan запомнить придется только то, что tan 45° = 1 и что tan 90° определить невозможно, потому что cos 90° = 0.

С такими знаниями пора вернуться к подножию нашей горы. Только сначала давайте остановимся у первого попавшегося дерева и попробуем рассчитать его высоту.

Предположим, что мы не дошли до ствола 3 метра и что угол между землей под нашими ногами и верхушкой дерева составляет 50°, как изображено на рисунке. (Определить угол, кстати, можно либо с помощью приложения, которое в наши дни есть на многих смартфонах, либо посредством простого устройства, называющегося клинометр , которое легко собирается из транспортира, соломинки для питья и канцелярской скрепки.)

Обозначим высоту буквой h . То есть

Следовательно, h = 3 tan 50°. Последний, если верить калькулятору, равен 1,19…. Получаем 3(1,19…) ≈ 3,57, что и является высотой дерева.

Теперь пойдем к горе – испытаем первый из наших математических методов. Сложность его в том, что мы даже примерно не сможем прикинуть расстояние до центра подножья – то есть вместе с высотой горы мы получаем уравнение с двумя неизвестными. Предположим, что мы измерили угол от точки, в которой находимся, до вершины и получили 40°, потом отошли на 300 метров дальше и получили уже 32° (см. рисунок). Что нам теперь с этой информацией делать?

Способ 4 (метод тангенсов): Обозначим высоту горы h , а расстояние до центра ее подножья в изначальной позиции – буквой x (то есть x это длина отрезка CD ). Калькулятор говорит, что в треугольнике BCD tan 40° ≈ 0,839, следовательно

что можно представить как h = 0,839 x . В треугольнике ABC имеем

что дает нам h = 0,625( x + 300) = 0,625 x + 187,5.

Так как h в обоих случаях есть величина одинаковая, мы имеем полное право эти два уравнения соединить:

Решается это как x = 187,5/(0,214) ≈ 876. Значит, h приблизительно соответствует 0,839(876) ≈ 735, что и будет высотой горы.

Пока что наши знания о тригонометрических функциях ограничиваются прямоугольными треугольниками. Для решения повседневных задач этого, в принципе, более чем достаточно. Но разве вам не интересно узнать, как они ведут себя в других углах, а не только в тех, значения которых колеблются исключительно в диапазоне от 0° до 90° (ведь в прямоугольном треугольнике один из углов всегда прямой, а два оставшихся – острые)? Конечно, интересно, и именно этим мы и займемся в этом разделе – посмотрим на тригонометрические функции через призму единичного круга и разберемся в особенностях поведения синусов, косинусов и тангенсов углов других типов.

Надеюсь, вы не забыли, что единичным называется такой круг, радиус которого равен 1, а центр расположен в точке начала координат (0, 0). Для него отлично работает уравнение x ² + y ² = 1, которое получилось у нас в прошлой главе из теоремы Пифагора.

Давайте попробуем найти некую точку ( x, y ), расположенную на окружности выше и левее точки (1, 0) и образующую с центром круга и осью x острый угол A :

Для того чтобы найти x и y , нам нужно начертить прямоугольный треугольник и применить к нему наши формулы косинусов и синусов:

Другими словами, значения координат ( x, y ) составят (cos A , sin A ). Если обобщать, то при радиусе, равном r , ( x, y ) = ( r cos A, r sin A ).

Для любого угла A нам нужно определить (cos A , sin A ), то есть место расположения на окружности его вершины. При этом cos A будет соответствовать значению координаты по оси x , а sin A – по оси у , вот так:

А вот еще одно общее представление. Только теперь мы разделим единичный круг на много углов с шагом 30° (и сделаем один шаг в 45° для большей наглядности) – так мы получим углы из уже очень хорошо знакомых нам треугольников. Помните, я советовал вам выучить значения косинусов и синусов для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°?

К углам этим можно прийти с помощью простого отражения значений, содержащихся в первой четверти окружности.