Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Кроме того, время распространения технологий всегда было больше минимального времени проявления системности, значение которого не является константой, но во все исторические времена, исключая новейшее, было никак не меньше характерного времени исторических изменений.

Следовательно, для того чтобы объяснять закон (1), не разделяя прирост на две составляющие, нужно определять его на временах значительно больших сорока лет. Но гипербола Форстера (с точностью в 1 %) была получена при обработке демографических данных всего лишь за двадцать столетий, т. е. всего за 50 характерных времен, что явно противоречит допущению Кремера.

Кроме того, такой подход предполагает незначительный прирост за время τ. Но прирост численности за характерное время в последние столетия был соизмерим с общей численностью. В XX веке численность населения Земли за характерное время удвоилась, а рост все еще продолжался по закону той же самой гиперболы, которой следовал многие тысячи лет.

Поэтому уравнение (1), выражающее действующий причинный закон должно описывать прирост на временах меньших или даже значительно меньших характерного: Δt < τ. В таком случае разделение прироста на две составляющие: за счет рождаемости и за счет уменьшения смертности представляется совершенно необходимым.

Но записав простейшее уравнение (1) для суммарного прироста и проинтегрировав его, можно получить гиперболу Форстера. Почему такое возможно не менее загадочно, чем само явление гиперболического роста.

Возникает мистическое ощущение, что глобальная согласованность рождений и смертей на всем пространстве Ойкумены нацелена на то, чтобы общее число живущих в каждый (?) момент времени соответствовало некоторой «плановой» величине. Как мы покажем далее, такая согласованность может быть объяснена принципом эквифинальности роста и развития.

Демистификация по Коротаеву, т. е. переход от эмпирической зависимости (2) к причинному закону (1) (ПОС второго порядка), приводит к целому букету невыполнимых, невозможных следствий. Этот «букет мифов» мы сейчас и рассмотрим.

Чем же все-таки не устраивают модели первого типа, основанные на законе квадратичного роста (1) как на причинном законе, подумает придирчивый читатель? Что с того, что они редукционистские, если правильно описывают рост и к тому же наиболее просты по форме.

Рис. 1. Закон квадратичного роста скорости роста численности от численности (1) и гипербола Форстера, зависимость численности от времени (2).

Однако соответствие теории демографическим данным не бог весть какое достоинство, ведь закон роста чрезвычайно прост и «слепить» вменяемую модель на основе (1) не представляет особого труда. Но действительно ли закон квадратичного роста (1) является необходимым и достаточным условием роста численности по гиперболе?

Очень важным, на наш взгляд, является понимание того обстоятельства, что гиперболический рост населения мира мог происходить и при другой, отличной от задаваемой законом (1) зависимости скорости роста от времени.

Иначе говоря, в пространстве множества функций, выражающих зависимость скорости роста численности от времени, существует класс функций, «сколь угодно» далеких от квадратичной гиперболы скорости роста, задаваемой (1), но определяющих кривую роста численности, совпадающую с гиперболой Форстера с той же точностью, с какой гипербола Форстера соответствует демографическим данным.

Здесь мы имеем дело с еще одним мифом теоретической демографии, поскольку ни один из исследователей гиперболического роста такой возможности не учитывает и считает квадратичную гиперболическую зависимость скорости роста от времени для растущей популяции Homo sapiens – само собой разумеющейся [78].

Но о чем нам говорит исследование Форстера и его коллег, которое проводилось методом наименьших квадратов? О том, что в классе степенных функций простая гипербола лучше всего подходит для описания зависимости N(t).

Критерием соответствия теории и «эксперимента» в методе наименьших квадратов служит точность определения трех констант степенной функции: ее показателя, постоянной Форстера и точки сингулярности.

Высокая точность, полученная Форстером для показателя степенной функции и точки сингулярности, говорит о том, что в среднем за некоторое характерное время τ скорость роста численности возрастала по закону квадратичной гиперболы. Причем рост рассматривается Форстером на интервале времени в 20 столетий, т. е. гораздо большем, чем это характерное время: ΔТ >> τ.

Критерий же соответствия теории и «эксперимента» в методе наименьших квадратов учитывает поведение эмпирической функции лишь в том смысле, что подбираются три константы, наилучшим образом определяющие аппроксимирующую степенную зависимость.

Если же рассматривать другие классы функций, учитывая, что зависимость численности от времени может быть получена интегрированием скорости по времени, а операция интегрирования есть, по сути, операция сглаживающая, нивелирующая, уничтожающая все особенности – то результат может оказаться совершенно иным.

Иначе говоря, действительная зависимость скорости роста от времени могла значительно отличаться от квадратичной гиперболы.

Здесь мы попытаемся показать, что зависимость эта может выражаться функцией даже немонотонной, причем ее возрастание будет сменяться убыванием десятки раз в течение всего исторического периода, но кривая роста N(t) при этом будет «сколь угодно» мало отличаться от гиперболы Форстера.

Возьмем для определенности промежуток исторического времени продолжительностью в две тысячи лет: от начала новой эры и до второй половины ХХ века. Разобьем его на интервалы равной длительности и введем на них сеточную функцию.

Считаем, что сетка равномерная: шаг сетки постоянный, т. е. расстояния между любыми двумя ее соседними узлами – равны. Кроме того, определим сеточную функцию таким образом, чтобы в узлах сетки ее значения совпадали с соответствующими значениями эмпирической гиперболы Форстера.

Если выбрать шаг разбиения достаточно малым, то результат интерполяции такой сеточной функцией может «сколь угодно» мало отличаться от гиперболы Форстера.

Выберем для простоты линейную интерполяцию, а величину шага положим равной 20 годам. Для той кусочно-линейной функции, которая будет получена нами в качестве альтернативы гиперболе Форстера, важным будет интервал длительностью в два шага, т. е. в 40 лет.