Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

В таком случае возмущение в один клаттер составляет всего лишь доли процента от общего числа клаттеров в сети и является даже не каким-то «толчком», а всего лишь «легким прикосновением». И, наконец, нужно учесть то, что уравнение Капицы легко выводится из алгоритма роста иерархической сети. Поэтому нет ни малейшего сомнения в правильности этого алгоритма.

Направленность роста сети на стадию своего гармонического достижения в конце каждого глобального исторического цикла, когда ее размер удваивается по сравнение с его значением в конце предыдущего цикла, полностью соответствует представлению о сокращающихся циклах исторического развития, которые рассматривали И.М. Дьяконов и С.П. Капица.

При этом приоритет по глобальным историческим циклам Мир-системы, сжимающимся к точке сингулярности эмпирической гиперболы демографического роста, имеет, по-видимому, более высокое значение по сравнению с приоритетом по экономическому (Кондратьевскому) циклу – главному циклу эволюции.

Т. е. гармонические стадии роста сети должны быть пройдены в обязательно порядке. Поэтому кривая роста стремится пересечь как точки, предопределенные программой эквифинальности по Кондратьевским циклам, так и, вероятно, с более высоким приоритетом, все девять точек гармонического достижения от момента начала неолита до момента начала демографического перехода.

В этом и состоит истинная причина устойчивости гиперболического роста в нашей модели, и она понятна без всякой математики.

Устойчивость роста – вот ахиллесова пята всех теорий первого типа, опирающихся на закон квадратичного роста (1) как на причинный закон. Может ли тогда (1) считаться причиной гиперболического роста? И могут ли такие теории претендовать на истинность? Окончательные выводы пока отложим. Но возвратимся к теории Коротаева.

Все сказанное выше по поводу устойчивости справедливо для того случая, когда скорость роста численности в точности пропорциональна квадрату численности.

Если же это условие выполняется лишь в тенденции, по мере роста Мир-системы, как полагает Коротаев, то надежда на то, что в результате такого случайного, неустойчивого процесса «нарисуется» (причем с фантастической точностью в один процент!) гипербола Форстера, простейшая из гиперболических кривых, – пропадает окончательно и безвозвратно.

На стр. 33 книги «Гиперболический рост в живой природе и обществе» (А.В. Марков, А.В. Коротаев, Москва, URSS, 2009 г) Коротаев пишет (выделено мной. – А.М.):

«Теперь для того, чтобы объяснить гиперболическую тенденцию роста численности населения мира, мы должны просто объяснить, почему на протяжении многих тысячелетий абсолютные темпы мирового демографического роста были в тенденции пропорциональны квадрату численности населения мира».

Убедить востоковеда Коротаева в том, что действовавший на протяжении многих тысячелетий причинный закон (1) (ПОС второго порядка), справедливый лишь в тенденции, не обладающий ни памятью, ни устойчивостью не способен обеспечить рост населения мира по гиперболе, что понятно и так, без всяких доказательств, любому мало-мальски мыслящему человеку с минимальным математическим образованием, – не представляется возможным. Спустя годы он продолжает распространять в печати и в Интернете свою топорную, ничем не подтвержденную демографическую теорию.

Проведем такой мысленный эксперимент. Пусть имеются два сосуда с питательной смесью; в каждом из них находятся в равном количестве микроорганизмы, способные двигаться и размножаться по закону Мальтуса (при неограниченных ресурсах и без конкуренции), в соответствии с которым прирост пропорционален численности. (Такой рост называется экспоненциальным.) Сосуды соединены трубкой с краном.

Что произойдет, если спустя некоторое время после того как микроорганизмы начали размножаться кран открыть? – Ничего не произойдет. Каждая часть системы размножается независимо от другой. Скорость роста в системе «два сосуда вместе» ничем не отличается от суммарной скорости роста в системе «два сосуда по отдельности» до открытия крана.

Микроорганизмы «не чувствуют» друг друга, никак не взаимодействуют, для роста им нужна только питательная среда. Все сказанное справедливо для любого экспоненциального роста, с любыми коэффициентами рождаемости и смертности. Но если повторить тот же эксперимент для организмов, размножающихся по закону квадратичного роста, то после открытия крана, спустя некоторое время, темпы роста скорости роста удвоятся, т. е. естественный прирост, в расчете на одну репродуктивную ячейку популяции в системе из двух сосудов, будет вдвое превышать таковой при закрытом кране.

Длительность переходного периода, когда скорость роста получает свое приращение (в данном случае на 100 %) за счет системности при неизменной в первом приближении общей численности, назовем минимально необходимым временем проявления системности.

Рис. 1. Переход от конечно-разностного алгоритма Эйлера к законам роста в дифференциальной форме для экспоненциального и гиперболического роста.

Причинно-следственный механизм экспоненциального и гиперболического роста полностью соответствует одношаговому алгоритму Эйлера в задаче Коши для уравнений (1) и (2). Следует подчеркнуть, что конечно-разностная форма закона роста (1А) при достаточно малом шаге Δt и есть та модель, которая адекватно описывает процесс роста как причинно-следственную цепь. Дифференциальное уравнение (1) с бесконечно малым шагом и приращением – всего лишь математическая идеализация, позволяющая получать простые по форме и достаточно точные решения стандартными методами.

Именно поэтому вопрос о выборе шага итераций Δt в (1А) имеет большое значение. Каким должен быть выбран этот шаг, и может ли он вообще быть выбран так, чтобы конечно-разностный алгоритм роста соответствовал существующим причинно-следственным отношениям. Ясно, что шаг этот должен быть достаточно мал, чтобы оказался возможен переход к уравнению (1), частным решением которого является гипербола Форстера. Иначе не будет согласия теории с наблюдательными данными.

Для колонии организмов, растущих по закону экспоненты, шаг этот должен быть гораздо меньше масштаба времени (1/α), характеризующего рост. Если показатель смертности равен нулю, то это время, необходимое микроорганизму, чтобы создать свою копию. Других ограничений на Δt – нет (считаем, что объем питательной смеси неограничен), и при достаточно малом шаге можно перейти к простейшему дифференциальному уравнению с экспоненциальным решением. Насколько все просто для экспоненциального роста, где каждая часть системы растет независимо от другой, настолько сложно, когда эти части взаимодействуют.