Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Представьте каждую из следующих моделей в четырех основных формах записи.

а.

б.

1.2.6. Дано уравнение модели

а. Постройте график функции от с использованием MATLAB путем ввода команды:

x=[0:.1:12]

y=.8*x.*(1-x/10)

plot(x,y)

б. Постройте график функции от путем изменения команд MATLAB из части (а).

в. Вычислите значения для при . Затем на графике из части (б) постройте паутину, начинающуюся с . Можно добавить линию на графике, введя команды

hold on, plot(x,y,x,x)

Полученная паутинная диаграмма достаточно точно соответствует таблице значений?

1.2.7. Если бы данные в таблице 1.6 о численности популяции были собраны в ходе лабораторного эксперимента, описывались бы они хотя бы приблизительно логистической моделью? Объясните почему. Если данные описываются логистической моделью, то можете ли оценить и в модели ?

Таблица 1.6. Значения численности популяции

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72

1.2.8. Предположим, что популяция моделируется уравнением когда измеряется поштучно.

а. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но с популяцией, измеряемой в тысячах штук. Подсказка: пусть , тогда и можно найти формулу для описания зависимости от .

б. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но для популяции, измеряемой в единицах, выбранных таким образом, чтобы пропускная способность составляла 1 в этих единицах. Для начала определите пропускную способность исходной модели.

1.2.9. Метод построения паутинной диаграммы для изучения итерированных моделей не ограничивается только моделированием логистического роста, описанного выше. Определите графически популяции в каждой из моделей на рисунке 1.5 выполнив шесть итераций приращения, используя отмеченные начальные значения численности популяции .

а.

б.

в.

г.

Рисунок 1.5. Паутинные диаграммы для задачи 1.2.9.

1.2.10. Приведите формулу для графика, изображенного в части (а) рисунка 1.5. Как называется такая модель?

1.2.11. Некоторые из одних и тех же идей и моделей, используемых в исследованиях популяций, появляются в совершенно неожиданных научных областях.

a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно , и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве , преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве в момент времени . Опираясь на свои школьные знания, объясните, почему . Какие значения являются допустимыми? Какой смысл имеет ? Как выглядит график функции от ?

b. Химические реакции называются автокаталитическими, если скорость, с которой они происходят, пропорциональна как количеству сырья, так и количеству продукта, тот есть продукт реакции отказывается её катализатором. Модно снова использовать очень малый интервал времени для моделирования такого действия, но уже с помощью другого уравнения. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно и то одно химическое вещество преобразуется в другое химическое вещество, которое получается в количестве . Объясните, почему в данном случае . Если мало, но не равно нулю, то как будет выглядеть график функции от ? Если , то как будет выглядеть график функции от ? Можете ли интуитивно объяснить форму полученного графика? Обратите внимание на тот факт, что будет очень маленьким, потому что используется небольшой интервал времени. Модель логистического роста в таких случаях иногда также называют автокаталитической моделью.