Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Несмотря на всю строгость Харди в вопросах, касавшихся математики (во всем остальном он пользовался репутацией человека исключительно мягкосердечного), он не мог устоять перед очарованием прекрасных уравнений индийского гения.

Формулы Рамануджана должны быть верными, потому что, если бы они не были верными, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать.

Харди показал работы Рамануджана одному из своих коллег, с которым он часто работал вместе, Джону Литлвуду (мы уже встречались с ним раньше, когда говорили о парадоксе с теннисными мячами). Литлвуд тоже был поражен явной гениальностью Рамануджана. Он говорил, что не знает математиков, которых можно было бы сравнить с Рамануджаном: он превосходил всех их.

Чтобы проиллюстрировать, до какой степени Харди и Литлвуд с течением времени стали считаться лидерами современных математических исследований в Англии, я могу сообщить, что один из моих превосходных коллег сказал однажды в шутку: «В наше время есть всего три по-настоящему великих английских математика: Харди, Литлвуд и Харди – Литлвуд» {10} 10 Математик Харальд Бор был братом великого датского физика Нильса Бора. Кроме того, он играл в футбольной сборной Дании, завоевал в ее составе серебряную медаль Олимпийских игр 1908 г. Эта цитата позаимствована из его лекции «Оглядываясь назад» (Et tilbageblik // Mat. Tidsskr. A (1947). P. 1–27). .

Харди был просто замечательным математиком. Но когда Пал Эрдёш (которого мы тоже уже встречали) спросил Харди, что, по его мнению, было его величайшим вкладом в математику, Харди ответил: «Открытие Рамануджана».

К этому я добавлю только одно: у Харди была привычка классифицировать математиков по шкале от 0 до 100. Самому себе он поставил 25, своему коллеге Литлвуду – 30, а великому немецкому математику Давиду Гильберту (в честь которого названа целая область математики – «гильбертовы пространства») – 85. Рамануджану он поставил высочайшую оценку из возможных – ровно 100!

Одна из моих любимых книг – «Апология математика» Харди. Он рассуждает в ней об эстетике математики и дает нам редкую возможность увидеть изнутри методы мышления тех, кто занимается этой наукой. Харди любил чистую (теоретическую) математику и как-то хвастался даже, что ничто из того, что он сделал, не имеет практического применения. В этом, однако, он сильно ошибался. Например, всякому, кто хоть немного занимался популяционной генетикой, знаком закон Харди – Вайнберга. Кроме того, Харди считал, что не имеет практического значения и теория чисел, которую он страстно любил. Сегодня теория чисел тесно связана с шифрами и кодами. Харди думал даже, что у теории относительности тоже не может быть никакого практического применения. Действительно, очень трудно – может быть, даже невозможно – предсказать, какие из математических открытий окажутся практически полезными, а какие послужат «только лишь» для поддержания славы человеческого разума, очень трудно – может быть, даже невозможно.

В своей книге Харди описывает самым увлекательным образом, что́ в математике он находит прекрасным, а что́ – нет. Впоследствии мы еще поговорим об этом.

Со здоровьем у Рамануджана дела обстояли далеко не так блестяще, как с математикой. В 1920 г., вскоре после возвращения в Индию, он умер в возрасте всего 32 лет.

Начиная с 2005 г. за открытия, сделанные на основе его работ, ежегодно присуждается премия имени Рамануджана, учрежденная университетом SASTRA [13] Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy – университет, расположенный близ индийского города Кумбаконама, родины Рамануджана. . Ее могут получить только математики не старше 32 лет – того возраста, в котором сам Рамануджан расстался не только с жизнью, но и с числами, которые он так любил.

В 2009 г. (в котором было подготовлено первое издание этой книги) премию получила немецкий математик Катрин Брингман. Последняя на момент написания этого текста премия была присуждена украинскому математику Марине Вязовской, которая решает задачи в 8- и 24-мерном пространствах!

Вернемся, однако, к интересным числам, о которых мы говорили в предыдущей главе.

Однажды Харди навещал болевшего Рамануджана. Харди упомянул, что приехал в такси, на котором стоял номер 1729. «Какое необычайно скучное число!» – воскликнул Харди. «Ничего подобного! – пылко возразил Рамануджан. – На самом деле 1729 – число чрезвычайно интересное! Неужели вы не понимаете, что это самое малое число, которое можно выразить в виде суммы кубов двух положительных целых чисел двумя разными способами? Первый – 1 в кубе плюс 12 в кубе. Второй – сумма 10 в кубе и 9 в кубе». Вот как это можно записать:

1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³.

Когда я рассказываю эту историю своим друзьям, их обычно поражает тот факт, что кто-то сумел моментально вычислить, что число 1729 можно представить в виде суммы двух кубических чисел. Меня же, честно говоря, поражает тот факт, что Рамануджан знал, что 1729 – наименьшее число, обладающее этим свойством. Откуда он мог это знать? Понятия не имею!

Разумеется, мы говорим здесь только о положительных числах. Если бы можно было использовать и отрицательные, мы могли бы найти величину, меньшую 1729. Например, 91 = 6³ + (–5)³ = 4³ + 3³.

Любое целое положительное число было одним из личных друзей Рамануджана.

Я хотел бы отметить, что у числа 1729 есть еще несколько интересных свойств. Больше всего мне нравится то из них, которое обнаружил японский математик и писатель Масахико Фудзивара (р. 1943) {11} 11 Фудзивара весьма известен в Японии своими популярными книгами по математике. Одна из этих книг посвящена красоте теорем, которые он делит на красивые и уродливые. . Он показал, что 1729 – одно из всего лишь трех чисел, обладающих следующим свойством: сумма его цифр, умноженная на число, симметричное этой сумме, дает исходное число.

1 + 7 + 2 + 9 = 19.

19 × 91 = 1729.

Найдите другие два числа (этим свойством также обладает число 1, но этот ответ слишком очевиден и потому не считается). Подсказка: одно из этих чисел двузначное, и его не слишком трудно найти. Второе число четырехзначное {12} 12 Первое число – 81. Второе… барабанная дробь! – 1458. Удалось ли вам его найти? .

Индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар родился в 1905 г. Он закончил Мумбайский университет [14] В то время Бомбейский. и посвятил себя преподавательской работе. Он проработал школьным учителем несколько десятилетий, но так никогда и не изучал высшую математику. Он внес вклад в развитие нескольких разных областей – в том числе магических квадратов, периодических десятичных дробей и целых чисел с особыми свойствами. Он открыл несколько замечательных свойств чисел, но при жизни так и не получил признания. Лишь совсем недавно его вклад в теорию чисел был оценен по достоинству: в знак запоздалого признания его именем была названа постоянная.