Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Но его ожиданиям не суждено было сбыться. Не успел учитель повернуться к доске, как Барух сказал: «Учитель, ответ – 5050».

Мы можем предположить, что Барух еще не был знаком с приведенной выше формулой (он был слишком мал). Как же ему удалось так быстро сосчитать эту сумму?

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 =?

Ответ оказывается очень простым и к тому же очень изящным. Барух не стал складывать все числа по порядку: он заметил, что можно сложить первое число с последним (1 + 100 = 101), второе – с предпоследним (2 + 99 = 101), третье – с третьим с конца (3 + 98 = 101) и так далее, вплоть до 50 + 51 = 101, и получить пятьдесят пар, сумма членов каждой из которых равна 101. После этого ему оставалось только умножить 50 на 101, а это очень легко сделать: 50 × 100 = 5000 плюс еще один раз 50, итого 5050.

Умно́, не правда ли? Если подумать об этом несколько секунд, можно понять, что метод маленького Баруха аналогичен Пифагоровой идее раскладывания камешков.

Привычка Пифагора преподавать с использованием камешков также объясняет, почему мы называем некоторые числа «квадратными», «треугольными», «кубическими» и так далее. Он просто давал этим числам названия, соответствующие их геометрическим представлениям.

Например, как можно видеть из иллюстрации, числа 1, 4, 9, 16, 25… – «квадратные»:

Числа 1, 3, 6, 10, 15… – «треугольные»:

А числа 1, 5, 12… – пятиугольные.

Вернемся к треугольным числам.

Теория:любое треугольное число от 3 и выше может быть выражено в виде суммы полного квадрата и двух треугольных чисел.

Доказательство:хватит и иллюстрации.

И действительно, 15 = 9 + 3 + 3 = 3² + 3 + 3.

Ч. т. д.

Маленькое примечание:эту же теорему, разумеется, можно доказать и обычным способом, но это доказательство немного сложнее и немного труднее для понимания. Иллюстрация гораздо нагляднее.

А как обстоит дело с суммой квадратов последовательных чисел?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … =?

Те, кто по-настоящему любил в школе задачи на индукцию, возможно, даже помнят следующую формулу (символ · обозначает в ней операцию умножения):

Это равенство было известно уже китайскому математику Ян Хуэю, жившему в XIII в.

Какая логика лежит в его основе? Чтобы понять ее, нам придется обратиться за помощью к пифагорейцам. Я продемонстрирую концепцию для n = 4. Концепция для общего случая следует в точности тому же принципу.

Теперь осталось только собрать следующую фигуру:

и мы получим:

или

.

Если вам нравится заниматься математикой методом «камешков на пляже», вам, возможно, придется по вкусу и следующее интересное развлечение: найдите похожие формулы в своем учебнике по математике, соберите внушительную кучу камешков и отправляйтесь на пляж. Только не забудьте запастись кремом от загара – эти упражнения иногда занимают довольно много времени. Вместе с тем можно развлекаться и иначе: взять ту же кучу камешков и придумывать собственные формулы. Но кроме этого есть, конечно, и самое главное развлечение – пойти на пляж и не делать там ничего!

Без математики невозможно проникнуть вглубь философии. Без философии невозможно проникнуть вглубь математики. Без них обеих невозможно проникнуть вглубь чего бы то ни было.

Можно ли говорить о Пифагоре и не упомянуть о прославленной теореме, носящей его имя? Разумеется, нельзя. Поэтому я закончу эту главу несколькими историями о теореме Пифагора.

Итак, теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Интересно отметить, что эту теорему знали еще древние египтяне, которые даже использовали пифагоровы треугольники со сторонами 3 – 4 – 5 для построения прямых углов.

Разумеется, всякий, кто учился в школе, способен дать формулировку этой знаменитой теоремы, но многие ли из вас действительно знают почему она справедлива и как ее доказать?

Рассказывают, что, когда философ Томас Гоббс (1588–1679) случайно увидел теорему Пифагора в книге «отца геометрии» Евклида, он был так поражен, что решительно отказался поверить, что это утверждение может быть истинным. В то время Гоббсу было около 40, и до этого момента он не особенно интересовался математикой. Гоббс прочитал доказательство (что совсем не мало для человека, не отличавшегося страстью к геометрическим фигурам) и влюбился в геометрию.

Что же – если Гоббс не желал поверить в истинность теоремы, мне не остается ничего другого, как доказать ее. Собственно говоря, ее доказательств существуют сотни, начиная с самого первого, так поразившего Гоббса в изложении Евклида, и до доказательств с использованием дифференциалов.

Я покажу вам три доказательства, которые мне особенно нравятся, но до этого хочу представить вам доказательство для случая равнобедренного прямоугольного треугольника. Это доказательство настолько просто, что для его изложения хватит и чертежа.

Это доказательство я выбрал потому, что оно – одно из самых простых.

Возьмем квадрат со стороной a + b и построим в нем четыре одинаковых прямоугольных треугольника, как показано в левой части представленного ниже чертежа. Теперь расположим те же треугольники по-другому, как показано в правой части. Площадь заштрихованных участков на обоих чертежах должна быть одинаковой, так как она в обоих случаях равна суммарной площади квадрата за вычетом площади четырех треугольников.