Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Следовательно, a ² + b ² = c ².

Если вы думаете, что автором доказательства теоремы Пифагора был ленивый кот Гарфилд [16] Герой одноименного комикса. , вы ошибаетесь. Это доказательство принадлежит двадцатому президенту Соединенных Штатов Джеймсу А. Гарфилду. Однако, если вы думаете, что между котом Гарфилдом и президентом Гарфилдом нет никакой связи, вы опять ошибаетесь! Создатель кота Гарфилда художник Джим Дэвис назвал его в честь своего дедушки, а дедушку назвали в честь президента Гарфилда.

Вот это доказательство. Посмотрите на трапецию, изображенную на следующем чертеже:

Площадь трапеции равна произведению ее высоты ( a + b ) на среднее арифметическое длин ее оснований

Вместе с тем трапеция состоит из трех треугольников – I, II и III, – а площадь каждого из треугольников I и II равна

Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180°, легко доказать, что треугольник III прямоугольный. Отсюда вытекает, что площадь треугольника III равна

Следовательно,

Раскрыв скобки в левой части и упростив, получаем в результате a ² + b ² = c ².

Ч. т. д.

Браво, двадцатый президент Соединенных Штатов!

На этот раз автором доказательства был не кто иной, как Леонардо да Винчи. Джорджо Вазари (1511–1574) пишет в «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» (1550), книге о великих художниках, что Леонардо изучал математику всего несколько месяцев, но и за такое короткое время сумел стать специалистом в этой области. Точно так же Леонардо не посвящал много времени изучению музыки, и тем не менее подобно Пифагору любил петь, аккомпанируя себе на лютне. Есть много других предметов, которыми Леонардо занимался лишь недолгое время и тем не менее освоил настолько, что научился применять их даже лучше, чем те, кто затратил на их изучение много времени и сил.

Уверен, что никто не удивится, если я скажу, что основную идею доказательства да Винчи легко можно понять из чертежа.

Как Леонардо да Винчи пришел к этому чертежу? Где именно таится в нем доказательство? Я дам вам время немного поупражнять мозг, размышляя над этой задачей.

В предыдущей главе, в которой мы познакомились с Пифагором, нам встретились треугольные числа, квадратные числа и даже пятиугольные числа. Однако мы совсем не говорили о числах прямоугольных. Почему же?

Эти числа не столь интересны потому, что встречаются они слишком часто. Любое число, которое делится без остатка на другое, меньшее, число, можно представить в виде прямоугольника. Вот, например, всего лишь два представления одного такого числа:

Гораздо интереснее искать числа, которые нельзя представить в виде прямоугольника; точнее говоря, числа, которые делятся только на единицу и само на себя. Например, число 17.

Не существует никакого способа составить из клеток прямоугольник, отличающийся от показанного ниже.

Число называется простым, если у него есть ровно два разных делителя – единица и само это число. Числа, не являющиеся простыми, называют составными. Вот несколько первых простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… Их список продолжается и дальше. Если вы внимательно прочитаете определение простого числа, вы поймете, почему в этот список не входит число 1.

Простые числа – это кирпичики, из которых строится вся популяция чисел, так как любое составное число может быть представлено одним, и только одним, способом в виде произведения простых чисел, причем любое простое число может входить в это произведение более одного раза.

Например: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².

Тем, кто не считает себя членом сообщества математиков, тот факт, что любое число может быть представлено в виде одного, и только одного, произведения простых сомножителей, кажется совершенно очевидным. Однако для математиков этот факт не вполне ясен: им приходится его доказывать. Не следует, однако, обвинять математиков в излишней педантичности; в прошлом было такое множество положений, которые казались «совершенно очевидными», а потом оказались – и это было доказано – ложными, что математики категорически решили, что любое и каждое утверждение должно быть подтверждено доказательством. Можно предположить, что сложение множества нулей непременно дает нуль, но, как вы увидите далее в этой книге, сумма нулей не всегда бывает равна нулю, а если уж нельзя доверять нулям, то кому вообще можно доверять?

Но я отвлекся. Вернемся к теме простых чисел.

Первое, что мы можем спросить, завязывая с простыми числами отношения, которые мы собираемся заботливо развивать, это: «Сколько всего существует простых чисел?»

Ответ на этот вопрос первым нашел греческий математик Евклид, отец теоретической геометрии. С Евклидом знаком любой, кто изучал геометрию, – где бы и когда это ни происходило. Все мы заучивали постулаты (аксиомы) Евклида: что через любые две точки можно провести одну, и только одну, прямую или что две параллельные прямые никогда не пересекаются. Собственно говоря, классическая геометрия носит его имя – она называется евклидовой геометрией. И, хотя Евклид разрабатывал свою геометрию более 2000 лет назад, ее до сих пор преподают в точности так, как он ее записал. Можно ли представить себе, чтобы биологию, или химию, или физику преподавали, используя только знания, полученные более 2000 – или даже 200 – лет назад?

Евклидова геометрия оказала сильнейшее влияние на лучшие умы человеческой цивилизации, одним из которых был величайший из философов, Барух Спиноза. Евклидовы методы построения геометрии на основе аксиом и базовых концепций настолько впечатлили Спинозу, что он применил этот подход в главной своей работе, «Этике». Разумеется, Спиноза не говорит в своей книге о точках и прямых. Он рассуждает о концепции Бога и о месте человека в мироздании. Но для представления своих доводов он использует чисто евклидовские методы: Спиноза излагает основополагающие концепции, формулирует конкретные аксиомы, а затем использует их для доказательства теорем. Более того, главное произведение Спинозы называется в латинском оригинале Ethica ordine geometrico demonstrata (хотя эту книгу часто называют просто «Этикой»; точный перевод латинского названия – «Этика, доказанная в геометрическом порядке»).