Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Как, вероятно, уже поняло большинство читателей, множество обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита – A, B, C, D…

Символ ∈ означает принадлежность к множеству. Например, если мы обозначим буквой F множество всех фильмов, поставленных Феллини, то можно написать «Амаркорд» ∈ F. Если этот символ перечеркнут, он означает, что данный элемент не принадлежит к множеству. Например, «Аватар» ∉ F.

В теории множеств Кантора любой объект либо принадлежит, либо не принадлежит к определенному множеству. Но задумайтесь на мгновение о множестве, скажем, высоких людей: определить принадлежность к этому множеству будет не так-то легко. В 1965 г. американский математик и информатик еврейского происхождения [41] По материнской линии: его отец был иранским азербайджанцем. Лоттфи А. Заде (1921–2017) предложил более гибкий подход к множествам, который он назвал теорией нечетких множеств. Основополагающая концепция теории нечетких множеств состоит в том, что каждому объекту можно присвоить вероятность принадлежности к любому конкретному множеству, которая может составлять от 0 (точно не принадлежит) до 1 (точно принадлежит). Например, у Наполеона и Дэнни Де Вито вероятность принадлежности к множеству высоких людей равна 0 [42] Относительно роста Наполеона до сих пор существуют разногласия. По одним сведениям, он составлял 157 см (что приблизительно соответствовало среднему мужскому росту во Франции того времени), по другим – около 170 см. Во всяком случае Наполеон, видимо, не был заметно ниже многих своих современников. Рост Дэнни Де Вито составляет 147 см. , а у Леброна Джеймса эта вероятность равна 1, в то время как автор этой книги может принадлежать к множеству высоких людей с вероятностью около 0,07.

Я впервые познакомился с теорией нечетких множеств, когда мне попалась книга Барта Коско «Нечеткое мышление» (Fuzzy Thinking, Hyperion, 1993). Эта книга полюбилась мне с первой же строчки: «Однажды я узнал, что наука неверна». Главная мысль этой книги, которую автор блестяще защищает на протяжении всех ее 300 страниц, состоит в том, что в мире нет ничего черного и белого. На самом деле все существует в разных оттенках серого. Всё может быть абсолютно определенно только в классической математике, но классическая математика не способна достоверно описать мир.

Вот слова человека, выразившего эту же идею гораздо лучше, чем удается мне:

Законы математики, имеющие отношение к реальности, не несомненны; если же они несомненны, они не имеют отношения к реальности. Математика, описывающая реальность, не несомненна, а когда математика несомненна, она не описывает реальности.

Вернемся, однако, к канторовой теории множеств.

Сколько элементов содержится в множестве всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел? Я надеюсь, что вы помните гипотезу Гольдбаха, которая утверждает, что таких чисел не существует. Другими словами, в этом множестве нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается вот так: Ø.

Можно сказать, что множество всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел, с очень высокой вероятностью может быть пустым множеством, но абсолютной уверенности в том, что это действительно так, у нас нет. А вот множество чисел, которые больше самих себя, и множество ежей, говорящих на идиш, совершенно точно пусты.

Ну хорошо; может быть, и можно проявлять некоторую гибкость относительно того, входит ли тот или иной элемент в то или иное множество, – как это делается в теории нечетких множеств, – но до сих пор мы не встречали ничего особенно необычного, что не позволило бы нам определить множество как некий набор элементов. Более того, я должен отметить, что подобное же определение дал концепции множества и сам Кантор.

Однако в мире математики нет почти ничего действительно простого и самоочевидного – есть только кажущееся таковым на первый взгляд.

«Очевидно» – самое опасное слово в математике.

Оказывается, в таком интуитивном определении множества – как некоего набора элементов – есть несколько скрытых проблем. В качестве примера я расскажу о неприятности, которая случилась с немецким математиком, логиком и философом Готлобом Фреге (1848–1925).

В 1902 г. Фреге собирался опубликовать второй том своей монументальной работы под названием «Основные законы арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik), в которой он показывал, как можно воссоздать правильную арифметику исходя из заложенного Кантором основания теории множеств и используя только наивное определение множества по Кантору. Но 16 июня Фреге почувствовал, что весь его труд грозит развалиться на части: он получил от Бертрана Рассела письмо, в котором тот изложил сформулированный им парадокс, ставший с тех пор чрезвычайно знаменитым. Он известен как «парадокс Рассела» или «антиномия Рассела».

Парадокс Рассела существует во многих вариантах, но наиболее известен в формулировке так называемого «парадокса брадобрея».

В маленькой удаленной английской деревушке жил-был Эдвард, профессиональный брадобрей, известный своим крайним педантизмом. Несколько лет назад, когда он только открыл свою парикмахерскую под вывеской «Эдвард Руки-ножницы», он провозгласил следующее правило: он будет брить всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.

В первый день все шло хорошо. В деревне были те, кто брился самостоятельно, и те, кто приходил к Эдварду ради того гладкого бритья, на которое были способны только его искусные руки. На второй день Эдвард начал замечать на своих щеках и подбородке пробивающуюся щетину, которая его вовсе не красила. Однако за мгновение до того, как он взялся за бритву, дотошный брадобрей осознал, что правило, которое он же сам и ввел, поставило его в затруднительное положение.

В соответствии с этим правилом он должен был брить только тех жителей деревни, которые не брились сами. Можно ли ему побрить самого себя? Брить или не брить? Вот в чем вопрос.

Тщательно обдумайте то, что тут происходит. Если он побреется, то нарушит свое собственное правило, потому что тем самым побреет человека, который бреется самостоятельно; но, если он не побреется, то станет жителем деревни, не бреющимся самостоятельно, а такого человека он должен побрить.

Парадокс Рассела порождается принципом так называемого «порочного круга». Из этого принципа следует, что множеству лучше не содержать элементов, которые могут быть описаны при помощи определения самого этого множества (если только вы не хотите попасть в такую парадоксальную ситуацию).