Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

На планете Проксима-Инфинитас, которая расположена на расстоянии тысяч световых лет от Земли и любого другого места, находится одно из чудес современной архитектуры. На этой планете построена гостиница, созданная на основе концепций математика Давида Гильберта. Гостиница названа его именем и входит в сеть роскошных отелей «Давид Гильберт». Каждый из этажей гостиницы состоит из одного номера, в котором размещается один-единственный постоялец. Число номеров в гостинице бесконечно, но, несмотря на бесконечное количество номеров, гостиница имеет всего один метр в высоту. Строители – ООО «Зенон» – построили гостиницу следующим образом: высота первого этажа составляет полметра, высота второго – четверть метра, третьего – одну восьмую метра и так далее – до бесконечности. Попытайтесь представить себе, как эта гостиница выглядит с высоты птичьего полета. Размеры номеров не беспокоят постояльцев гостиницы, потому что в ней останавливаются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Каждое число живет на этаже, номер которого равен этому числу. Гостиница всегда полностью заселена. В число ее сотрудников, которые живут на первом этаже соседнего здания, входят администратор Омега, портье Эпсилон и две горничные, сестры Сигма и Лямбда (Сигма обслуживает нечетные номера, а Лямбда – четные).

Однажды в гостиницу приехал 0, который спросил портье, найдется ли для него номер. Эпсилон ответил, что очень сожалеет, но гостиница совершенно заполнена, и он ничем не может ему помочь. «Чтобы получить номер в нашей гостинице, его нужно бронировать заранее. Не зря же наша гостиница пятизвездочная!»

К счастью для приезжего, в этот момент появилась администратор. Омега сделала портье выговор и объяснила ему, что, если бы гостиница была конечной, тогда действительно было бы нельзя ничего поделать. Но гостиница бесконечна, и проблему можно решить, причем очень просто.

Омега объявила по громкой связи: «Дорогие постояльцы! Убедительно просим каждого из вас переселиться этажом выше». Все числа выполнили инструкции Омеги. Число 1 переехало на второй этаж, число 2 – на третий, число 3 – на четвертый и так далее. Первый этаж остался свободным, и 0 может отныне считать себя постояльцем гостиницы.

– Пожалуйста, запомните, что я сделала, – сказала администратор пораженному Эпсилону. – Я надеюсь, что теперь вы и сами сумеете разместить любое конечное число новых постояльцев.

– Разумеется, – ответил портье. – Если в гостинице появятся тысяча новых жильцов, я просто попрошу каждого из наших долговременных постояльцев переселиться в номер, на тысячу больший того, в котором он живет сейчас, и тогда освободится нужное число номеров.

Удовлетворенная этим ответом, Омега вернулась к другим занятиям, но тут ее отвлек телефонный звонок. Подняв трубку, она услышала рассерженный голос числа 13.

– Я хочу пожаловаться на непомерные расценки, – сказало 13. – 1000 КШ (космических шекелей) в сутки – это грабеж среди бела дня! Особенно учитывая, что, даже если вы брали бы с нас всего лишь по половине КШ, ваши доходы не изменились бы: ваша прибыль в любом случае бесконечна.

– Мне очень жаль, но я не могу так сильно снизить расценки, – отвечала администратор. – Одно лишь ежедневное обслуживание каждого номера обходится в 20 КШ, не говоря уже о зарплатах Эпсилона, Сигмы и Лямбды!

– Это не проблема, – продолжало 13. – Даже если ваши расходы на каждый номер составляют 500 КШ в день и вы платите своему персоналу по 70 КШ в секунду, вы все равно можете брать с каждого постояльца по пол-КШ за сутки, да еще и забирать себе по миллиарду КШ в день на мелкие расходы.

– Как это? – спросила Омега.

– Очень просто. Хотя ваши расходы бесконечны, бесконечны и ваши доходы. Вы можете в любой момент отложить из своих доходов миллиард КШ, и доходы все равно останутся бесконечными и будут уравновешивать расходы. У одного моего богатого друга есть купюра, номинал которой – бесконечное количество КШ. Однажды я видел, как он купил газету и расплатился этой купюрой. Знаете, сколько ему дали сдачи? Ему просто вернули ту же купюру! Потому что газета стоила 2 КШ, а бесконечность минус два – это все равно бесконечность. Так всегда и бывает. Богатым все достается бесплатно. Но вернемся к нашей проблеме. Даже если вы снизите плату за номер до одной тысячной КШ, ничто на самом деле не изменится. Хватит даже и одной триллионной.

– Хмм… – пробормотала Омега. – В ваших словах есть своя логика. Интересная идея… Обещаю вам, что подумаю об этом. Кстати, будь у меня купюра номиналом в бесконечное число КШ, я бы тут же бросила бы работу. В самом деле, сколько бы я ни заработала, это ничего не добавило бы к уже бесконечному состоянию.

Мечты Омеги о возможности отдыха от работы прервало сообщение, появившееся на экране ее компьютера. В нем говорилось:

Гостинице Гильберта с планеты Альфа-Отрицательная

Все наши постояльцы, отрицательные целые числа –1, –2, –3… хотят приехать к вам на одну неделю. Будем признательны, если вы сумеете разместить их в своей гостинице.

Теперь речь шла о размещении бесконечного числа ожидающихся новых постояльцев, так что предыдущее решение – с перемещением жильцов на конечное количество номеров – уже не работало. Нельзя же попросить их переселиться на бесконечное число этажей выше! Это заняло бы бесконечное время, и к тому же никто не знал бы, на сколько именно ему следует подняться и где остановиться.

«Может быть, мы все-таки сможем подняться на бесконечное число этажей за конечное время? – подумала про себя Омега. – Предположим, что первый этаж можно миновать за полминуты, второй – за четверть минуты, третий – за одну восьмую минуты и так далее… Вот оно! Я придумала способ переехать на бесконечное число этажей всего за минуту! Но куда будут переезжать числа? В какие номера? Нет, так ничего не выйдет. Нужно придумать что-то другое».

Администратор попыталась изобрести другое решение, но так ничего и не добилась. В конце концов она решила обсудить эту проблему с портье, Эпсилоном. Может быть, совместными усилиями им удастся найти какое-нибудь решение? Но и это не помогло.

Не видя другого выхода, Омега решила обратиться за помощью к Сигме и Лямбде. До поступления на работу в гостиницу обе они прослушали спецкурсы по алгебраической топологии и функциональному анализу.

– Поселить их здесь совсем не трудно, – заявили сестры. – Когда мы проходили теорию множеств, эта задача была первым упражнением, которое нам задали. Вот как она решается. Числа 0 и 1 останутся там, где они живут сейчас, на первом и втором этажах. Все остальные числа переедут в номера, соответствующие их удвоенным значениям. То есть число 2 переселится в номер 4, число 3 – в номер 6, число 4 будет наслаждаться уютом номера 8 и так далее и так далее. Тогда все нечетные номера (3, 5, 7, 9…) освободятся, и у нас получится бесконечное количество незанятых номеров. Мы сможем разместить всех постояльцев.