Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

– Я полагаю, вы собираетесь показать мне доказательство от противного, не так ли? Как это типично для математиков! – сказала Омега.

– Вот как будет выглядеть распределение чисел по номерам: число А 1будет в номере 1, число А 2 – в номере 2, число А 3 – в номере 3 и так далее. Кто же такие все эти «А»? Мы сможем узнать их, потому что под своими «новыми» именами они будут выглядеть следующим образом:

A 1 = 0,a 11a 12a 13a 14a 15…

A 2 = 0,a 21a 22a 23a 24a 25…

A 3 = 0,a 31a 32a 33a 34a 35…

A 4 = 0,a 41a 42a 43a 44a 45…

A 5 = 0,a 51a 52a 53a 54a 55…

..……………………

Другими словами, a ik – это k -я цифра после запятой в числе, которое будет жить в i -м номере. При этом следует помнить, что любая цифра, обозначенная a ik , – это либо 0, либо 1. Приведу пример. Предположим, что число 0,111000110010… живет в номере 3. Следовательно, для этого числа a 31 = 1, a 32 = 1, a 33 = 1, a 34 = 0, a 35 = 0… – дальше все очевидно. Так вот, – продолжал профессор, – я могу предъявить вам число, которое находится между 0 и 1, то есть входит в группу постояльцев, приехавших с Дельты-Континуума, но не относится к числам, живущим в гостинице. Этот факт докажет, что найти в гостинице место для всех чисел, расположенных между 0 и 1, невозможно, потому что список, который мы составили, получился слишком общим.

Обозначим число, не живущее в гостинице, В. Разумеется, мы запишем его в виде B = 0, b 1b 2b 3b 4… где b i может быть равно либо 0, либо 1, и образуем его так, чтобы никакое b i не было равно a ii (a ii – это все числа, стоящие на диагонали составленного нами списка). Как мы это сделаем?

Идея чрезвычайно проста. Если a ii = 0, то b i должно быть равно 1. Если же a ii = 1, то b i должно быть равно 0.

Приведу пример. Допустим, мы как-то расположили все числа от 0 до 1, в записи которых используются только цифры 0 и 1. Они расположены совершенно в произвольном порядке, но предположим, что мы расставили их следующим образом:

A 1 = 0, 010010001…

A 2 = 0,0 10101010…

A 3 = 0,11 0110110…

A 4 = 0,100 110111…

A 5 = 0,0111 11110…

..……………………

Сформируем теперь число В. Цифру b 1 мы определим равной 1, потому что a 11 = 0 (первая цифра после запятой в числе А 1 равна 0); цифра b 2должна быть равна 0, потому что a 22 = 1 (a 22 – это вторая цифра после запятой в числе А 2); цифра b 3должна быть равна 1, потому что a 33 = 0. И так далее.

– Но откуда вы знаете, что число В не живет в гостинице? – не смогла смолчать Омега.

– Это совершенно очевидно. Первая цифра после запятой в числе В, то есть b 1, должна отличаться от первой цифры после запятой в числе A 1(то есть от цифры a 11). Мы уверены в этом, потому что мы специально построили число В так, чтобы на этом месте стояла другая цифра. Отсюда очевидно, что число В не может быть равно числу А 1, даже если бы все остальные его цифры в точности совпадали со всеми остальными цифрами числа А 1.

Перейдем теперь ко второй цифре после запятой в числе В, то есть к цифре b 2. Она должна отличаться от второй цифры после запятой в числе А 2 – по той же самой причине. Следовательно, каковы бы ни были другие цифры числа В, это число никак не может быть равно числу А 2.

Продолжим аналогичные рассуждения для всех остальных цифр числа В – для всего их бесконечного количества. Результат будет тем же самым для каждой из них. В числе В всегда будет по меньшей мере одна цифра, отличающая его от чисел, входящих в группу A i . Следовательно, мы должны заключить, что число В не может быть равно никакому конкретному числу А. Другими словами, число В не является постояльцем гостиницы. Оно приехало с Дельты-Континуума вместе со всеми своими друзьями, но, в отличие от них, в гостинице не поселилось.

– Если это так, я внесу число В в самое начало списка, перед А 1! – Омега запрыгала на месте, чрезвычайно возбужденная идеей, которая только что пришла ей в голову. Надо сказать, что разговоры с Омегой не были трудными для профессора, но иногда раздражали его.

– Да вы попросту ничего не поняли из моего объяснения! Смотрите: даже если вы добавите число В в начало списка, я всегда смогу сформировать некое новое число – назовем его Y, – которого в списке не будет, точно так же, как я сформировал число В.

– Вы правы. Но я все равно не понимаю, как может быть, что кому-то из постояльцев не найдется места в бесконечной гостинице.

– Это значит, что, хотя количество номеров в вашей гостинице и бесконечно, количество постояльцев, которые хотят в ней поселиться, еще более бесконечно, – объяснил профессор.

– Что вы такое говорите? Более бесконечно? – спросила чрезвычайно взволнованная Омега. – Объясните же мне, как бесконечное может быть более бесконечным, чем бесконечное!

Но престарелый профессор был совершенно обессилен своим долгим объяснением.

Как сравнить размеры разных множеств? Больше ли количество капель воды в Атлантическом океане, чем число возможных позиций на шахматной доске? Больше ли число мелодий, которые можно сочинить, чем количество рациональных чисел между 0 и 1? Как узнать, что в одном множестве содержится меньше элементов, чем в другом, если речь идет о множествах, чрезвычайно больших или даже бесконечных? В каком случае можно сказать, что два множества имеют одинаковые размеры? Легко ли отличить очень большую группу от бесконечной? О проблемах, которые могут возникнуть, если мы примем чрезвычайно большое множество за множество бесконечное, знал еще Архимед. В трактате под названием «Псаммит» (то есть «Исчисление песчинок») великий сиракузянин решил найти верхний предел, ограничивающий число песчинок, имеющихся во Вселенной.

Некоторые люди полагают… что число песка по величине бесконечно; я говорю… о том [ песке ], который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества [45] Цит. по: Архимед . Сочинения / Пер. с др.-греч. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1962. .

Архимед установил, что число песчинок во Вселенной ограничено сверху числом 10 63, и доказал таким образом ошибочность обоих предыдущих утверждений.

Через много лет после того, как Архимед завершил свои расчеты, а именно в 1938 г., английский астрофизик, астроном и математик сэр Артур Стэнли Эддингтон прочитал в кембриджском Тринити-колледже лекцию, в которой заявил:

Я полагаю, что во Вселенной существует 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366231 425 076 185 631 031 296 протонов и такое же количество электронов.

Это огромное число известно теперь под названием «число Эддингтона». Выглядит оно весьма эффектно, но не имеет никакого отношения к бесконечности.