Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Как писали в книге «Математика и воображение» (Mathematics and Imagination, 1940) математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюмен, необходимо понимать, что «очень много» и «бесконечность» – две совершенно разные концепции. Нет такой точки, в которой крупная звезда становится бесконечной. Мы можем записать сколь угодно большое число, и оно будет не ближе к бесконечности, чем числа 1 или 7.

Интересно отметить, что именно в упомянутой выше книге впервые появилось слово «гугол». Это название для числа, записывающегося в виде единицы, за которой следуют сто нулей, предложил племянник Казнера Милтон, которому было тогда девять лет. Кстати говоря, от искаженного написания слова «гугол» произошло и название Google.

Тот же необычный мальчик предложил и термин «гуголплекс» – название числа, образованного из единицы и очень многих нулей: «Гуголплекс должен состоять из 1, за которой пишут нули, пока не устанет рука». Сегодня гуголплексом называют число, гораздо более точно определенное: 10 гугол. Даже не пытайтесь представить себе это число. Астроном и писатель Карл Саган (1934–1996) отмечал в своем телесериале «Космос: Личное путешествие», что записать гуголплекс невозможно в связи с одной очень серьезной проблемой: в наблюдаемой Вселенной не хватит места для всех его цифр.

Тем не менее даже гуголплекс бесконечно далек от бесконечности. На самом деле это число ничуть не ближе к бесконечности, чем 1 или 7, да и любое другое число, которое вы можете назвать.

Даже число, равное гуголплексу в степени гуголплекса остается определенно конечным. Я буду называть это число пухплексом в честь своего любимейшего друга, милого, пухлого медвежонка Винни-Пуха. Если даже гуголплекс превосходит всякое человеческое воображение, то что уж говорить о пухплексе? Вы можете придумывать сколь угодно большие числа и даже давать им названия по своему вкусу. Можно возвести пухплекс в степень пухплекса, а потом подумать о факториале получившегося числа – одна только попытка осознать размеры таких чисел вызывает у меня головную боль – и все равно эти числа будут конечными и останутся не менее далеки от бесконечности, чем число 7.

Вернемся же к разговору о бесконечности.

Вернемся к вопросу о том, когда можно считать, что два множества имеют одинаковые размеры.

В случае конечных множеств никаких затруднений не возникает. По меньшей мере в принципе эту задачу можно решить методом подсчета: если в множестве А столько же элементов, сколько и в множестве В, можно сказать, что эти множества равного размера.

Трудности возникают, однако, когда речь заходит о бесконечных множествах. В этом случае подсчет их элементов невозможен. Как вы думаете, можно ли сравнить размеры двух групп без подсчета? Оказывается, можно.

Для начала попытаемся немного разобраться в ином подходе к сравнению конечных множеств. Представим себе модный клуб, в котором идет полным ходом ежегодная встреча топ-моделей и знаменитых футболистов. Праздник в самом разгаре, и многие футболисты, так же как и многие манекенщицы, самозабвенно пляшут на танцплощадке.

Можем ли мы определить, не считая, кого там больше – футболистов или манекенщиц, или же, может быть, и тех и других присутствует поровну?

У этой задачи есть одно чрезвычайно простое решение: нужно всего лишь включить какую-нибудь спокойную музыку и объявить, что каждый футболист должен пригласить на танец манекенщицу. После этого есть три варианта развития событий:

1. Танцуют все, что означает, что число футболистов равно числу манекенщиц.

2. Остаются футболисты, которые не смогли найти себе пары и стоят, печальные и одинокие, возле бара. В этом случае ясно, что футболистов оказалось больше, чем манекенщиц.

3. Не танцуют некоторые из манекенщиц: множество манекенщиц оказалось больше, чем множество футболистов.

Важно отметить, что этот метод сравнения не позволяет нам узнать точное число футболистов и манекенщиц. Однако хотели-то мы сравнить размеры этих двух групп, и именно это мы и сделали.

Этот метод сравнения работает и при сравнении бесконечных множеств, подсчет элементов которых невозможен.

Теперь нам пора познакомиться с двумя довольно скучными – но важными – концепциями.

Соответствие между элементами множества А и множества В, при котором разные элементы множества А находятся в соответствии (образуют сочетания) с разными элементами множества В и наоборот, называется одно-однозначным отображением (или инъекцией ). Для краткости соответствие такого типа обозначают 1:1.

Например, предположим, что у нас есть три футболиста – Роналду, Месси и Мбаппе – и четыре манекенщицы – Адриана, Жизель, Кейт и Нина. Если мы составим следующие пары футболистов и манекенщиц:

то получим одно-однозначное соответствие между двумя сформированными таким образом множествами, потому что любые два футболиста (разные элементы множества А) попадают в пары с разными манекенщицами (разными элементами множества В). То обстоятельство, что Адриана осталась без пары, с точки зрения этого определения не имеет значения. Раз у каждого элемента множества А есть уникальная пара, соответствие можно считать одно-однозначным.

Кроме того, пары можно составить и следующим образом:

В этом случае соответствие не будет одно-однозначным, потому что два разных футболиста попали в пары с одной и той же манекенщицей, Кейт. В множестве А больше элементов, чем в множестве В.

Когда существует такое соответствие элементов множества В элементам множества А, что для каждого элемента множества В имеется по меньшей мере один соответствующий элемент множества А, такое соответствие называют сюръективным. Обратите внимание, что на один и тот же элемент множества В могут отображаться несколько элементов множества А (в этом случае получившееся отображение не будет одно-однозначным). При таком соответствии говорят, что множество А сюръективно отображается на множество В.

Предположим, например, что у нас есть теперь пять футболистов – Роналду, Месси, Мбаппе, Кен и Неймар – и те же четыре манекенщицы – Адриана, Жизель, Кейт и Нина. Для них можно образовать следующее сюръективное соответствие: