Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Эмми Нётер

А вот напоминание о том, как можно разместить в самой шикарной математической гостинице во Вселенной целые числа:

Выше мы обозначили мощность конечного множества символом #A. Однако, поскольку завершить подсчет элементов бесконечного множества невозможно, для его мощности не может существовать никакого значения « n ». Следовательно, мощность счетно-бесконечного множества необходимо определить как-то иначе. Кантор обозначил ее символом ℵ 0(алеф-нуль). Он состоит из буквы «алеф», взятой из еврейского алфавита, с подстрочным индексом 0 {29} 29 Когда-то я читал книгу по теории множеств на русском языке, изданную еще до перестройки, и в ней были еврейские буквы. Если вам кажется, что в этом нет ничего особенного, добавлю, что в советской истории был период, когда за изучение иврита могли посадить в тюрьму. . Если обозначить буквой N множество натуральных чисел, а буквой Z – множество целых чисел (как положительных, так и отрицательных, а также нуля), то для обоих этих множеств можно написать, что #N = ℵ 0и #Z = ℵ 0.

Тот факт, что мощность счетно-бесконечного множества обозначается ℵ 0, намекает, что ℵ 0 – вероятно, наименьшая мощность бесконечного множества и что могут существовать и более высокие мощности бесконечных множеств (элементы которых мы все равно не можем пересчитать!). На самом деле так оно и есть.

Докажите, что любое бесконечное множество содержит счетно-бесконечное множество.

Из этого упражнения, в частности, следует, что бесконечное множество может заполнить бесконечную гостиницу. Ключевое слово тут – «может».

Например, множество чисел, делящихся на 3, можно разместить в бесконечной гостинице так, что эти числа не займут все номера: нужно просто поселить каждое число в номере, соответствующем его значению.

Остается бесконечное количество свободных номеров.

Но если каждое число, делящееся на 3, поселить в номере, соответствующем одной трети его значения, гостиница окажется полностью заселенной.

Это показывает нам, что множество чисел, делящихся на 3, – множество счетно-бесконечное (потому что, как можно видеть из таблицы, существует биекция между ним и множеством натуральных чисел).

Множество чисел, кратных гуголплексу, также бесконечно и также счетно, как и множество чисел, кратных пухплексу. Попытайтесь представить себе, какое огромное количество чисел придется пройти, прежде чем мы доберемся до пухплекса! После этого нужно будет пройти еще столько же, чтобы достигнуть удвоенного пухплекса! Тем не менее мощность множества чисел, кратных пухплексу, равна мощности множества чисел, кратных 21, а также мощности множества четных чисел и множества натуральных чисел.

Мощность всех этих множеств – ℵ 0.

Хотите – верьте, хотите – нет!

Наши бледные рассуждения скрывают от нас бесконечное.

Наша экспедиция в гостиницу Гильберта показала, что не всякое множество может в ней разместиться, хотя гостиница и бесконечна . Количество элементов множества всех чисел, заключенных между 0 и 1, оказалось слишком большим, чтобы все они смогли поселиться в гостинице.

Множество этих чисел несчетно -бесконечно, так как между ним и множеством натуральных чисел нет одно-однозначного и сюръективного соответствия. Существуют ли другие множества чисел, бесконечные, но несчетные, то есть такие множества, которые невозможно разместить в бесконечной гостинице?

Интересный пример множества этого типа дает множество неалгебраических чисел, которые мы сейчас определим. Но сначала проясним, что такое алгебраическое число.

Вспомним, что рациональное число – это число q , которое может быть записано в виде отношения двух целых чисел

Можно дать другое, эквивалентное определение: число q – рациональное число тогда, и только тогда, когда оно является решением уравнения «первой степени», а именно уравнения вида

где коэффициенты a и b – целые числа.

Ясно, что любое рациональное число

удовлетворяет равенству

и, следовательно, является решением уравнения первой степени

Например, число

является решением уравнения

Что же такое тогда алгебраическое число?

Число считается алгебраическим, если оно является корнем (то есть решением) уравнения вида:

,

где все коэффициенты a k – целые числа.

Число, не являющееся алгебраическим, называют «трансцендентным числом».

Левая часть приведенного выше уравнения называется многочленом (или полиномом) n -й степени, если n не равно 0.

Из этого определения немедленно следует, что все рациональные числа относятся к числам алгебраическим. Однако есть и иррациональные алгебраические числа {30} 30 Для математиков: алгебраические числа замкнуты относительно операций умножения и сложения, то есть образуют «кольцо». . Вот несколько примеров:

√2 – алгебраическое число, так как является решением уравнения x ² − 2 = 0.

Кубический корень из

– алгебраическое число, так как является решением уравнения