Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Но что из того, что наш разум конечен? Почему это должно приковывать нас к одним лишь размышлениям о конечном? Кантор и Дедекинд попытались взять это кажущееся затруднение и превратить его в основание новой теории.

Множество А можно назвать подмножеством множества В, если все элементы множества А являются элементами В.

Например:

A = {Густав Малер, Густав Холст, Густаво Дудамель}.

B = {Густав Малер, Густав Климт, Густав Холст, Густаво Дудамель, Гюстав Доре, Густаво Бокколи, Гюстав Курбе, ураган «Густав», Густав V Шведский}.

Множество А является подмножеством множества В, потому что все элементы множества А содержатся и в В. Из этого определения также следует, что любое множество является подмножеством самого себя.

Вернемся к рассмотрению парадокса Галилея. Но сначала нам нужно запомнить еще пару определений. Итак:

Если множество А – подмножество множества В, но не равно множеству В [49] А также не является пустым множеством. , говорят, что А – собственное подмножество В. В предыдущем примере множество А является собственным подмножеством множества В.

Множество называют бесконечным, если между ним и по меньшей мере одним из его собственных подмножеств есть как одно-однозначное (инъективное), так и сюръективное соответствие. Напомню кстати, что в случае конечных множеств собственное подмножество А не может иметь одно-однозначного соответствия с А!

Например, множество натуральных чисел бесконечно, потому что, как показал Галилей, оно эквивалентно одному из своих собственных подмножеств – множеству полных квадратов. Если мы хотим применить только что выученную замысловатую терминологию, можно сказать, что множество натуральных чисел и множество полных квадратов имеют равные кардинальные числа. Важно помнить следующее: в случае конечных множеств утверждение «часть всегда меньше целого» справедливо; в случае множеств бесконечных это не так. Мы уже видели более чем достаточно подтверждений этого обстоятельства: парадокс Галилея, предложенный Расселом вариант апории об Ахиллесе и черепахе из школы Зенона (см. выше раздел «Апология Зенона»), все чудеса бесконечной гостиницы Гильберта…

Некто осужден на вечные муки в аду. Другой человек проводит вечность в раю. На один день в году они меняются местами: несчастному грешнику позволяют насладиться восхитительной райской прохладой, а радостный обитатель рая пробует на вкус ужасы ада.

Рассуждая с точки зрения математики (то есть расчета кардинальных чисел), есть ли различия в том, как эти двое существуют после смерти?

Если вы считаете, что разница есть, объясните почему.

Если вы считаете, что разницы нет, ответьте на следующий вопрос: где предпочли бы провести вечность вы сами?

Парадокс Галилея – больше не парадокс; он попросту превратился в доказательство бесконечной природы натуральных чисел. Разумеется, можно найти много других подмножеств, равномощных множеству натуральных чисел (то есть имеющих такое же кардинальное число): множество простых чисел, множество четных чисел, множество натуральных чисел, делящихся на 101, множество чисел, точно равных факториалам, – {1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800…} – и так далее.

Возьмем множество D = {1, 2, 3, 4, 5}. Оно по определению не бесконечно.

Почему? Потому что, если взять из него некое собственное подмножество Е, мы не сможем найти между этими двумя множествами соответствия, которое было бы и одно-однозначным, и сюръективным. Другими словами, мы не сможем разбить все разные элементы множества D и разбить все разные элементы множества на пары.

Как уже было сказано выше, мощность конечного множества попросту равна числу содержащихся в нем элементов. Следовательно, можно написать #A = n .

Но как определить мощность бесконечных множеств? Не можем же мы подсчитать элементы, содержащиеся в бесконечных множествах!

Есть ли вообще мощность у бесконечных множеств?

А если есть, то существуют ли некие мощности бесконечных множеств, большие, чем другие (посещение бесконечной гостиницы дает более чем достаточно оснований предположить, что такое может быть возможно)?

Существует ли «наименьшая» плотность бесконечного множества?

Существует ли «наибольшая» плотность бесконечного множества? «Бесконечна» ли плотность бесконечного множества? Если это так, как нам определить значение такой мощности?

Если вы хотите узнать ответы на эти и другие вопросы, оставайтесь с нами!

Любое конечное множество, очевидно, есть множество счетное. Если начать с первого элемента, перейти к следующему и так далее, то рано или поздно (даже если это множество содержит гуголплекс элементов) вы (или ваши потомки) дойдете до последнего элемента. Бесконечное множество называют «счетно-бесконечным», если оно имеет такую же мощность, как множество натуральных чисел, то есть для него существует одно-однозначное и сюръективное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, его элементы можно расположить последовательно, из чего следует, что его элементы можно каким-то образом разместить в отеле Гильберта. Они счетны в том смысле, что мы можем расположить их так, чтобы у нас был первый элемент, затем второй, за ним – третий… и, хотя этот процесс никогда не завершится, мы все же пересчитываем эти элементы! Поэтому такие множества и называются «счетными».

Мы уже видели, что множество целых чисел и множество рациональных чисел можно расселить в бесконечной гостинице Гильберта без каких-либо затруднений. Это означает, что эти два множества, несомненно, относятся к множествам счетным.

Напомню, как именно размещались в гостинице рациональные числа. Как вы помните, мы расположили их в порядке возрастания «высоты», причем «высота» дроби a / b была определена равной h = a + b , а числа с одинаковой высотой располагались в порядке возрастания значения числителя (см. приведенную ниже таблицу). Вполне ясно, что у этих дробей, расположенных в таком порядке, есть инъективное соответствие с натуральными числами.

Давид Гильберт