Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Фраза «вещественное число, целая часть которого равна 42, а после запятой на нечетных местах стоят нули, а на четных местах – единицы» точно определяет число 42,0101010101… Аналогичным образом фраза «число, которое, будучи дважды умножено само на себя, дает число 7» точно определяет число³√7.

Ришар сказал: обозначим буквой Е множество всех вещественных чисел, которые можно определить с использованием конечного количества слов. Такое множество, несомненно, будет счетным (поскольку мы можем расположить числа в порядке возрастания количества слов в определениях, а если определения содержат равное количество слов – в лексикографическом (алфавитном) порядке). Затем, применив диагональный метод Кантора, он построил число, которого не было в исходном множестве чисел. Тем не менее это число также можно определить, используя конечное количество слов. Таким образом, это число не входит в состав множества, но должно быть его элементом.

Получился парадокс.

Один из способов разрешения этого парадокса – отметить, что свойство «число, которое невозможно определить с использованием конечного количества слов» не является свойством, которое можно определить на математическом языке. Чтобы развить эту идею, рассмотрим тот же парадокс с другой точки зрения. Представим себе, что в словаре содержится всего пять слов, например: «бор», «вор», «мор», «сор» и «тор». Более чем вероятно, что при наличии такого ограничения мы не смогли бы говорить ни на какую тему, требующую слов, не входящих в эту пятерку. Например, мы не смогли бы обсуждать континуум-гипотезу и уж тем более разговаривать о возможных противоречиях между разными физическими теориями.

Любая система символической логики (в том числе и математика) содержит набор формул. Слово «формула» используется здесь не в сравнительно узком математическом смысле. Его следует понимать гораздо более широко: под формулой мы можем понимать символ, слово, выражение, фразу, определение – все то, что мы используем для выражения идей. Поскольку между множеством формул и множеством натуральных чисел существует одно-однозначное соответствие, ясно, что мощность множества формул равна ℵ 0. Если это так, как можно обсуждать вещественные числа? Мощность их множества больше ℵ 0. Из этого следует, что должны существовать вещественные числа, которые невозможно описать формулами.

В этом контексте интересно отметить, что американский математик и философ Чарльз Пирс, которого мы уже упоминали, также открыл, причем независимо от Кантора, что установить соответствие между числами натуральными и числами вещественными невозможно. Однако, в отличие от Кантора, Пирс не стал продолжать исследования в этом направлении. Вместо этого он решил, что вещественные числа не существуют в завершенном виде, и то, что мы можем сказать о них, не слишком важно.

О чем невозможно говорить, о том следует молчать [58] Седьмое положение (и заключительная фраза) «Логико-философского трактата» (Logisch-philosophische Abhandlung, 1921). Цит. по: Витгенштейн Л . Философские работы. Часть I / Пер. М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Гнозис, 1994. .

Вещественное число называется вычислимым, если существует некоторый алгоритм, при помощи которого можно получить десятичное представление этого числа с любой заданной точностью.

Рациональные числа вычислимы, потому что их десятичное представление либо конечно, либо бесконечно, но периодично и получается при помощи старой доброй операции деления.

Число 0,232233222333222… также вычислимо, потому что можно легко найти его десятичное представление любой длины. Примечание: это число не рационально! Не хотите ли доказать это утверждение?

Алгебраические числа также вычислимы, потому что существуют разные методы решения любого уравнения вида

и определения его корней с любой точностью, какой только можно пожелать.

А кроме того, есть числа, не принадлежащие ни к одной из названных категорий, но все равно вычислимые. Два из них – числа π и e .

Десятичное представление иррационального числа π бесконечно, никогда не повторяется и не имеет алгебраической формулы. Тем не менее и это число вычислимо.

Еще Архимед знал о существовании алгоритма, позволяющего получить десятичное представление π со всевозрастающей точностью. Этот алгоритм был основан на построении правильных многоугольников с n вершинами, вписанных в окружность. По мере стремления n к бесконечности форма такого многоугольника стремится к окружности.

В 1593 г. французский математик Франсуа Виет нашел замечательную формулу для вычисления π при помощи набора вложенных радикалов {33} 33 Радикалом называют просто корень из любого числа. .

Помимо исключительной внутренней красоты этой формулы в ней есть еще один чрезвычайно важный элемент – стоящее в ее конце многоточие, которое означает «продолжать ту же процедуру до бесконечности». Трудно поверить, но это был первый случай, когда бесконечный процесс был явно обозначен в математической формуле.

Это напоминает мне одну историю о Людвиге Витгенштейне: он, как рассказывают, предлагал слушателям своих лекций вообразить человека, который бормотал на ходу: «…5, 1, 4, 1, запятая, 3 – всё!» Когда этого человека спросили, что это такое он делает, он ответил, что только что закончил перечисление десятичного представления числа π от конца к началу, чем занимался до этого целую вечность. Эта история кажется гораздо более абсурдной, чем рассказ о человеке, который решил сесть и записать десятичное представление π от начала до конца – и будет заниматься этим вечно. Почему?

Но вернемся к числу π. Интересно отметить, что многие другие помимо Архимеда и Виета пытались вычислить десятичное представление числа π, и все эти попытки в конце концов приводили к нескончаемым столбцам или нескончаемым операциям умножения. Однако в 1656 г. английский математик Джон Валлис открыл следующую формулу:

Если попарно перемножить последовательные сомножители, формулу можно записать в следующем виде:

Это бесконечное равенство действительно да- ет все следующие и следующие цифры десятичного представления π.