Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Тут можно читать онлайн Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - бесплатно ознакомительный отрывок. Жанр: Математика, издательство Литагент Аттикус, год 2021. Здесь Вы можете читать ознакомительный отрывок из книги онлайн без регистрации и SMS на сайте лучшей интернет библиотеки ЛибКинг или прочесть краткое содержание (суть), предисловие и аннотацию. Так же сможете купить и скачать торрент в электронном формате fb2, найти и слушать аудиокнигу на русском языке или узнать сколько частей в серии и всего страниц в публикации. Читателям доступно смотреть обложку, картинки, описание и отзывы (комментарии) о произведении.
  • Название:
    Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение
  • Автор:
  • Жанр:
  • Издательство:
    Литагент Аттикус
  • Год:
    2021
  • Город:
    Москва
  • ISBN:
    978-5-389-19538-7
  • Рейтинг:
    3/5. Голосов: 11
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 60
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение краткое содержание

Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - описание и краткое содержание, автор Хаим Шапира, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки LibKing.Ru
Математические формулы – такое же чудо, как и гениальные произведения великих композиторов и писателей, утверждает автор нескольких бестселлеров, математик и философ Хаим Шапира. Всем, кто желает расширить свой кругозор, он предлагает познакомиться с математическими теориями, касающимися самой красивой из концепций, когда-либо созданных человечеством, – концепцией бесконечности. Эта концепция волновала многих выдающихся мыслителей, среди которых Зенон и Пифагор, Георг Кантор и Бертран Рассел, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, аль-Хорезми и Евклид, Софи Жермен и Сриниваса Рамануджан. Поскольку мир бесконечности полон парадоксов, немало их и в этой книге: апории Зенона, гильбертовский отель «Бесконечность», парадокс Ахиллеса и богов, парадокс Рая и Ада, парадокс Росса – Литлвуда о теннисных мячах, парадокс Галилея и многие другие.
«Я расскажу читателю-неспециалисту просто и ясно о двух математических теориях, которые считаю самыми завораживающими, – теории чисел и теории множеств, и каждая из них имеет отношение к бесконечности. Вместе с этим я предложу стратегии математического мышления, позволяющие читателю испытать свои способности к решению поистине увлекательных математических задач». (Хаим Шапира)

Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок

Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - читать книгу онлайн бесплатно (ознакомительный отрывок), автор Хаим Шапира
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Интересно отметить, что именно Джон Валлис впервые использовал в 1655 г. символ бесконечности ∞ (по правде говоря, в своей работе о вычислении площадей под названием «О конических сечениях» (De sectionibus conicis) он использовал выражение 1/∞).

В 1671 г. шотландский математик и астроном Джеймс Грегори предложил еще одну формулу для вычисления π в виде бесконечной суммы:

Какая красивая формула Простая изящная и эффектная Этот рассказ был бы - фото 117

Какая красивая формула! Простая, изящная и эффектная.

Этот рассказ был бы, однако, неполным, если бы я не упомянул, что сегодня честь открытия приведенной выше формулы приписывают индийскому математику XIV в. Мадхаве, который, по-видимому, знал ее задолго до Грегори. Некоторые исследователи утверждают, что Мадхава не только знал эту формулу, но и нашел способ вычисления отклонения ее результатов от истинного значения π и даже разработал еще одну формулу для вычисления π, дающую гораздо более прямое приближение к значению этого числа, чем формула Грегори. Вот она:

Честно говоря тут я воспользовался случаем чтобы показать вам некоторые - фото 118

Честно говоря, тут я воспользовался случаем, чтобы показать вам некоторые особенно красивые формулы для вычисления значения π. Чтобы доказать, что π – вычислимое число, достаточно было бы показать всего лишь одну из них.

Что такое е ?

Число Эйлера е также не относится к алгебраическим числам, но, поскольку оно определено как предел некоторой последовательности, его значение также вычислимо, и, как и в случае числа π, есть несколько способов этого вычисления. Ниже я привожу несколько изящных и (сравнительно) простых примеров. Возможно, вы уже знакомы с первыми двумя.

Ибо в конечном счете что же он такое человек во Вселенной Небытие в - фото 119 Ибо в конечном счете что же он такое человек во Вселенной Небытие в - фото 120 Ибо в конечном счете что же он такое человек во Вселенной Небытие в - фото 121

Ибо в конечном счете что же он такое – человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, нечто среднее между всем и ничем. Бесконечно далекий от понимания этих крайностей – конца мироздания и его начала…

Блез Паскаль

Невычислимые вещественные числа

А существуют ли числа вещественные, но невычислимые? Они не просто существуют – их очень много. Собственно говоря, поскольку, как мы отметили раньше, количество алгоритмов счетно, мощность множества вычислимых чисел должна быть равна ℵ 0. А поскольку мощность множества вещественных чисел равна ℵ, это означает, что должно существовать ℵ вещественных чисел, которые не являются вычислимыми! Другими словами, невычислимы почти все вещественные числа. Для определения большинства вещественных чисел не существует алгоритмов. Можно ли говорить о невычислимых числах? Можете ли вы найти пример вещественного числа, которое было бы невычислимым?

Некоторые математики утверждают, что во всем наборе вещественных чисел нет необходимости, и для всех практических целей вполне можно обойтись одними только вычислимыми числами.

Тем, кто хочет узнать больше (гораздо больше!) о вычислимых числах и их интереснейшей связи с концепциями Алана Тьюринга, я настойчиво рекомендую прочитать книгу «Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики» (1989) [59] В русском переводе эта книга была издана московским издательством «Едиториал УРСС» в 2003 г. , которую написал британский математик, философ и обладатель бесчисленных (можно ли сказать «бесконечных»?) наград и званий сэр Роджер Пенроуз.

НЕВОЗМОЖНЫЕ ФИГУРЫ, ПРОДОЛЖАЮЩИЕСЯ ДО БЕСКОНЕЧНОСТИ

Сэр Роджер Пенроуз разработал в сотрудничестве со своим отцом, Лайонелом Пенроузом, несколько невозможных геометрических фигур и послал их голландскому художнику М. К. Эшеру (одному из героев книги «Гёдель, Эшер, Бах»), а тот использовал их в своих гравюрах. К числу наиболее знаменитых из этих фигур относятся две следующие {34} 34 Penrose L. S. & Penrose R. Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion // British Journal of Psychology. 49 (1958). Р. 31–33. :

Треугольник Пенроуза Лестница Пенроуза нескончаемое путешествие Только - фото 122

Треугольник Пенроуза

Лестница Пенроуза нескончаемое путешествие Только представьте себе как вы - фото 123

Лестница Пенроуза – нескончаемое путешествие

Только представьте себе, как вы поднимаетесь по этой лестнице – все поднимаетесь и поднимаетесь и все же все время возвращаетесь в одну и ту же точку. Эшер добавил череду вечно поднимающихся и вечно спускающихся монахов: все они оказываются в том же месте, с которого начали движение.

Ну что же, мы познакомились с несколькими интересными концепциями, но теперь нам пора вернуться к теории Кантора и узнать, что бесконечность бесконечна.

Бесконечность бесконечна

Существует ли множество чисел, мощность которого больше мощности множества вещественных чисел? Есть ли вообще «наибольшее» значение мощности?

Тот факт, что множества, имеющего наибольшую мощность, не существует, доказал сам Кантор. Собственно говоря, в этом случае доказательство Кантора было конструктивным, потому что он показал, что для любого данного множества всегда можно найти множество еще большей мощности и как это сделать. Такие множества называются показательными множествами, или булеанами.

Булеаны

Прежде чем мы перейдем к самой теореме, познакомимся с одной новой концепцией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУЛЕАНА

Пусть дано множество А. Множество, состоящее из всех подмножеств А, называется булеаном А и обозначается Р(А).

Предположим, например, чтоA = {17, 42, 0}. Тогда булеан Р(А) будет построен следующим образом: P(A) = {{}, {17}, {42}, {0}, {17, 42}, {17, 0}, {42, 0}, {17, 42, 0} }.

Символ «{}» обозначает пустое множество, которое считается подмножеством любого множества А. Возможно, вы помните, что ранее в этой книге мы использовали для обозначения пустого множества символ ∅. Оба эти символа – {} и ∅ – обозначают одно и то же. Отметим, что множество А также считается подмножеством самого себя. Если подсчитать количество подмножеств, окажется, что в самом множестве А содержится три элемента, а в булеане А – восемь элементов.

Я уверен, что вам тут же пришло в голову равенство 2³ = 8. Случайна ли эта связь? Нет, не случайна.

МИНИ-ТЕОРЕМА

Если #A = n , то #P(A) = 2 n (где # – количество элементов).

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать


Хаим Шапира читать все книги автора по порядку

Хаим Шапира - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки LibKing.




Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение отзывы


Отзывы читателей о книге Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение, автор: Хаим Шапира. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Понравилась книга? Поделитесь впечатлениями - оставьте Ваш отзыв или расскажите друзьям

Напишите свой комментарий
x