Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Когда язык и интуиция подводят, остается только одно спасительное средство. Нет-нет, не горсти галлюциногенов. Я имею в виду математический анализ. Даже если Квадрат не может увидеть форму неожиданного визитера, он тем не менее может рассчитать объем незнакомца. Расчет интеграла не требует всеобъемлющей визуализации или непосредственного опыта. Нужна просто определенная квалификация.

Если есть сомнения, математика поможет.

В колледже друг рассказал мне о «Флатландии» как о книге, с помощью которой «ты ближе всего подойдешь к тому, чтобы действительно увидеть четвертое измерение». Этот переломный момент наступает в конце романа, когда Квадрат просит Сферу показать ему не только три измерения, но и четыре:

Подобно тому как вы превосходите все Фигуры, населяющие Флатландию, объединяя множество Окружностей в единое целое, должно существовать Нечто, объединяющее в себе множество Сфер в одну высшую сущность, превосходящую по своему совершенству все Тела, обитающие в Трехмерии. Мы, находясь сейчас в Пространстве, взираем на Флатландию сверху и свободно заглядываем внутрь всех предметов. Точно так же должна существовать некая более возвышенная, более чистая область…

Но Сфера отказалась принимать свое собственное лекарство.

– Что за чепуха! – закричала она. – Оставим глупые шутки!

Я должен признать, что симпатизирую Сфере. Если существует четвертое пространственное измерение, то наша трехмерная реальность составит бесконечно тонкий его ломтик. Визитер из четырехмерного мира появится из ниоткуда посередине комнаты и будет меняться в размерах, потому что мы сможем видеть только одно его поперечное сечение за раз – не само существо, а его бесконечно малый слой.

Я могу все это описать словами. Но не могу вообразить и изобразить.

Тем не менее иногда там, где не может помочь размышление, на помощь приходит математический анализ. Чтобы вычислить объем четырехмерной сферы, мне просто надо собрать бесконечную коллекцию трехмерных.

На это мне потребовалась целая страница формул и несколько твитов, которые можно назвать помощью от моих добрых интернет-приятелей. Но я сделал это.

Мои действия похожи на рассказ математика Стивена Строгаца о его собственных школьных днях:

Я был трудягой. Стиль у меня был жесткий. Я искал метод, чтобы разгрызть задачу. Если это было отвратительно, трудоемко или требовало многих часов алгебраических вычислений, я не возражал, потому что в результате честного изнурительного труда гарантированно появлялся правильный ответ. На самом деле я любил именно эту сторону математики. В ней была справедливость. Если ты правильно начал, усердно трудишься и все делаешь правильно, то может быть тяжело и утомительно, но логика убеждает тебя, что в конце ты победишь. Решение будет тебе наградой.

Для меня огромным наслаждением было видеть, как рассеивается алгебраический дым.

Именно это нам дарит математический анализ. Он подтверждает нашу веру в космическую справедливость, в то, что тяжкий труд будет вознагражден, а долгие часы утомительной работы в конце концов принесут победу. В этом случае, когда дым рассеется и вы увидите объем четырехмерной гиперсферы, это будет

Пожалуйста, обратите внимание, что единицами измерения являются метры в четвертой степени. Что это означает, я не знаю, но, зуб даю, Архимед не знал тоже. И это утешает меня.

Это глава о двухстраничном примечании, опубликованном в 1996 г. Возможно, звучит не очень понятно, так что позвольте разрешить все сомнения: это действительно загадочная история. Даже фантастическая. Примечание, о котором идет речь, затрагивает колючие, как кактус, темы из различных скучных областей – от «пустыни» введения в математический анализ до невероятных оранжерей экспериментальной литературы. Книгу «Бесконечная шутка» Дэвида Фостера Уоллеса [59] Уоллес Д. Ф. Бесконечная шутка / Пер. с англ. С. Карпова, А. Поляринова. – М.: АСТ, 2019. , в которой появилось это самое примечание, называют «шедевром», «запретной и эзотерической», «романом о жизни Центральной Америки в последние 30 лет» и «огромным, энциклопедическим собранием всего того, что, по всей видимости, приходило в голову Уоллесу».

Мой вопрос состоит в следующем: зачем Уоллесу понадобилось насиловать свою душу и наполнять литературное произведение таким странным содержанием? Зачем посвящать две мертвые страницы среднему значению теоремы интегралов, когда в мире есть столько других интересных вещей?

Что для него значит теорема о среднем значении и чем он является для теоремы?

Несмотря на величественное название, теорема о среднем значении довольно проста. Представьте себе, что у вас есть некие количественные изменения в определенный период времени – рост, падение, падение, рост. Теорема о среднем значении утверждает, что где-то среди постоянного изменения и движения есть магическое мгновение – момент, когда значение функции равно общему среднему значению.

Возьмем, например, путешествие на автомобиле. Вы проезжаете 200 км за четыре часа, ваша скорость все время меняется. Если вы возьмете на себя труд ее посчитать, то средняя скорость получается 50 км/ч.

Теорема о среднем значении утверждает, что, по крайней мере, в одно прекрасное мгновение во время вашего путешествия вы ехали точно со скоростью 50 км/ч.

Это действительно очень простая логика. Ехали ли вы со скоростью выше 50 км/ч все четыре часа? Нет, тогда бы вы проехали больше 200 км. Ехали ли вы со скоростью ниже 50 км/ч? Снова нет, тогда бы вы проехали меньше 200 км. Была ли ваша скорость все время ниже или выше 50 км/ч и никогда не достигала этой отметки? Нет, если только вы не сидите за рулем тюнингованного DeLorean. Таким образом, мы приходим к выводу, что, по крайней мере, в один момент вы двигались точно со скоростью 50 км/ч.

Еще один пример – скажем, температура воздуха меняется в течение дня. Она повышается. Она понижается. Она возвращается к прежней отметке. Вы даже можете немного поговорить об этом, поскольку «обсуждение погоды» входит в список задач по умолчанию вашего социального программирования.