Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

А теперь как же мы определим общее среднее значение температуры?

Чтобы найти среднее нескольких чисел, мы их складываем, а потом делим на количество данных. Если в результате трех последних тестов вы получили 70, 81 и 89 [60] Автор, как и любой американец, разумеется, измеряет температуру в градусах по Фаренгейту. – Прим. пер. , то ваше среднее – это их сумма (240), деленная на количество данных (3). Это дает вам 80. Но в случае с температурой мы имеем бесконечное множество данных в каждый конкретный момент дня. Чтобы суммировать их все, нам понадобится интеграл.

Заметьте, что на чертеже внизу интеграл меньше, чем прямоугольник слева, и больше, чем прямоугольник справа, точно так же как средняя температура ниже максимума, но больше минимума.

О чем говорит нам теорема о среднем значении? Просто о том, что в какой-то момент дня температура равнялась среднему значению.

Ну хватит про теорему о среднем значении. Теперь обратимся к самому Дэвиду Фостеру Уоллесу, чтобы посмотреть, что он сделал с этой маленькой простой теоремой. На одной из страниц «Бесконечной шутки» мы находим «сложную детскую игру» под названием «Эсхатон». Для нее требуется «400 теннисных мячей, таких побитых и лысых, что их больше нельзя использовать для подач». Каждый из них символизирует собой ядерную боеголовку. Игроки делятся на команды (представляющие мировых политиков), а затем получают причитающееся количество боеголовок, высчитанное с помощью теоремы о среднем значении для интегралов.

То самое примечание находится в конце книги. Именно из него мы узнаем, что для каждой нации соответствующий выборочный показатель для определения ядерного арсенала высчитывается по формуле Чем больше это число, тем выше ядерная мощь. Но вместо того, чтобы распределять теннисные мячи, обозначающие боеголовки, в соответствии с текущим значением, «Эсхатон» использует скользящий средний показатель за последние несколько лет, расчеты которого (согласно рассказчику в романе Уоллеса) требуют использования теоремы о среднем значении.

Если все вышеизложенное не имеет для вас никакого смысла, не волнуйтесь. Дело в том, что ничего из этого не имеет никакого смысла ни для кого.

Теорема о среднем значении относится к «теоремам существования». Она говорит нам о том, что в какой-то момент температура должна достичь среднего дневного показателя. Она не говорит и не может говорить о том, где или когда наступит этот момент. Теорема только указывает на «стог» времени и уверяет нас, что наша иголка находится где-то среди этого бесконечного множества мгновений.

Я несколько раз перечитал примечание Уоллеса, чтобы удостовериться, что он действительно использует теорему о среднем значении для вычислений и что это и вправду не срабатывает. Я даже не пытался обсуждать плохо выбранные статистические данные (а зачем наказывать страны за военные расходы не на ядерное оружие?) или недостоверное объяснение теоремы о среднем значении (автор настаивает, что для вычисления среднего нужны только минимум и максимум). Весь этот абзац напоминает погоню за эффектом на уровне Джуда Ванниски.

Это только усилило мое стремление найти ответ на вопрос: «Зачем, Дэвид Форест Уоллес, зачем?!»

Согласно тому, что писал сам Уоллес, математика – это нить, которая соединяет всю историю его жизни. «В детстве я выдумывал вещи, которые походят на упрощенные версии дихотомий Зенона, – однажды признался он, – и размышлял о них, пока не почувствовал себя буквально больным». Даже его способности к теннису сводились в конечном счете к математике. «Меня награждали как человека с незаурядными способностями к физической культуре, – писал Уоллес, – как чудо-мальчика, повелевающего ветром и жарой… отбивающего “атакующие свечи” с причудливыми и изысканными закрутами». Уоллес вспоминал свой родной город на Среднем Западе (Эрбана, штат Иллинойс) как гигантскую координатную плоскость:

Я вырос среди векторов, прямых и прямых, перпендикулярных прямым, сеток координат и – в масштабе горизонтов – широких кривых линий географической силы… Я мог на глаз вычертить диаграмму областей над и под этими широкими кривыми в том месте, где сходятся земля и небо, задолго до того, как дошел до чего-то формального вроде интегралов или скорости изменения. Математический анализ был буквально детской игрой.

Но, будучи студентом Амхерстского колледжа, он наткнулся на свое первое препятствие в области математики. «Однажды я чуть не провалил основной курс матана, – писал Уоллес, – и с тех пор преисполнился отвращения к традиционному высшему математическому образованию». Об этом он подробно рассказывал следующим образом:

Проблема с уроками математики в колледже, которые… практически полностью состоят из размеренного поглощения и переваривания абстрактной информации… в том, что их лежащая на поверхности неподдельная трудность может одурачить нас и заставить думать, что мы действительно что-то знаем, тогда как все, что мы «знаем» в реальности, – это абстрактные формулы и правила их использования. Во время лекций по математике очень редко говорят, имеет ли данная формула вообще какое-то значение, откуда она взялась или какова цена вопроса.

Я встречал студентов, которые разделяют это раздражение, что заставляет большинство из них искать конкретные примеры. Дэвид Фостер Уоллес остается Дэвидом Фостером Уоллесом, он бросился в противоположном направлении, к самым одурманивающим и абстрактным закоулкам этой науки. «В таких дисциплинах, как математика и метафизика, – разглагольствовал Уоллес, – есть то, что мы считаем одной из самых странных черт сознания среднего человека. Это способность постигать вещи, которые мы, строго говоря, не можем постичь». Как отметил математик Джордан Элленберг, «он влюбился в технику и аналитику».

Став профессиональным писателем, Уоллес продолжал возвращаться к обсуждению вопросов математики. В одном интервью он объяснил, что «Бесконечная шутка» повторяет структуру пользующегося дурной славой фрактала под названием «салфетка Серпинского».