Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Когда я впервые читал курс математического анализа, мы целую неделю вычисляли определенные интегралы геометрическими методами, затем посвятили неделю неопределенным интегралам (то есть антипроизводным). В обоих случаях использовалось обозначение интеграла, но, насколько знали студенты, эти два отдельных способа совершенно не связаны. После всего этого скучного шоу я вскричал: «Абракадабра! В действительности они имеют отношение друг к другу!»

Я превратил фундаментальную теорему математического анализа в самый худший сюрприз ко дню рождения.

Теперь я не откладываю изучение фундаментальной теоремы ни на секунду дольше, чем мне это нужно. Это как в фильме «Когда Гарри встретил Салли»: «Когда вы понимаете, что хотите с кем-то провести остаток своих дней, вы желаете, чтобы эта часть вашей жизни началась как можно быстрее».

Я не инженер, не исследователь диабета и не занимаюсь какими-либо другими подобными задачами, но понимаю, что численное интегрирование очень полезно в самых разных науках и, возможно, заслуживает больше внимания, чем ему уделяет стандартный курс математического анализа. Это особенно верно сейчас, когда алгебраическое программное обеспечение так хорошо вычисляет антипроизводные, тем самым освобождая нас от необходимости осваивать 1001 метод интегрирования.

В этой главе я пытаюсь передать вкус и текстуру процесса интегрирования, не вычисляя каких-либо интегралов. Это глупая и, возможно, недостижимая задача, но она соответствует заявленной цели книги, поэтому мы здесь. Не то чтобы я не ценил вычисления; кстати, главная цель того, что мы называем «математический анализ», – это сделать вычисления более легкими, беглыми и как можно меньше задействовать при этом мозг. Я просто недостаточно хороший рассказчик, чтобы создать занимательную историю без тригонометрических замещений.

Снова вы можете увидеть мое увлечение кинематикой. Мне нравится знакомить с постоянными интегрирования на примере функции скорости, где + С имеет ясное физическое значение, как и положение при t = 0.

Думаю, тела вращения – замечательное завершение первого курса математического анализа. Они эффектны с виду, щедро одарены геометрически, от их возможностей просто дух захватывает, а также они позволяют нам поговорить об Архимеде и архангеле Гаврииле (чей образ воплотили в кино Кристофер Уокен и Тильда Суинтон – двое самых необычных актеров в истории кинематографа. Я понимаю, что этот факт не должен находиться здесь, но я не могу найти, куда еще его вставить, и не перенесу, если он не попадет в книгу).

● Аристотель. Физика / Пер. В. П. Карпова. – М.: Эксмо-Пресс; Харьков: Фолио, 1999.

● Борхес Х. Л. Вымышленные истории / Пер. В. С. Кулагиной-Ярцевой. – М.: Амфора, 1999. – С. 178–188.

● Evers, Liz. It’s About Time: From Calendars and Clocks to Moon Cycles and Light Years – A History. London: Michael O’Mara Books, 2013.

● Gleick, James. Time Travel: A History. New York: Vintage Books, 2017.

● Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3rd ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010.

● Mazur, Barry. “On Time (In Mathematics and Literature).” 2009. http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/time.pdf.

● Stock, St. George William Joseph. Guide to Stoicism. Tredition Classics, 2012.

● Wolfe, Thomas. Of Time and the River: A Legend of Man’s Hunger in His Youth. New York: Scribner Classics, 1999.

Мои огромные благодарности Виктору Бласьё, чьи работы («История математики» и «Интуитивный математический анализ бесконечно малых величин» на IntellectualMathematics.com) вдохновили меня на эту главу и помогли ее сформировать. Как он указывает, тот способ, который я избрал для демонстрации доказательства Ньютона – вначале предположить, что закон обратных квадратов выполняется, а затем сделать вывод об орбитальном периоде Луны, – это что-то вроде перевернутой наоборот версии оригинала Ньютона.

«Орбитальный период, разумеется, известен, – объясняет Бласьё, – а загадкой является то расстояние, на которое Луна падает за одну секунду, – именно это нам нужно узнать с помощью косвенных рассуждений, поскольку нет никакого способа измерить его экспериментально. Это согласуется с законом обратных квадратов (который тут же независимо подтверждается предсказанием эллиптических орбит планет)».

● Connor, Steve. “The Core of Truth behind Sir Isaac Newton’s Apple.” Independent, January 18, 2010. https://www.independent.co.uk/news/science/the-core-of-truth-behind-sir-isaac-ewtons-apple-1870915.html.

● Epstein, Julia L. “Voltaire’s Myth of Newton.” Pacific Coast Philology 14 (October 1979): 27–33.

● Gleick, James. Isaac Newton. New York: Vintage Books, 2004.

● Gregory, Frederick. “Newton, the Apple, and Gravity.” Department of History, University of Florida, 1998. http://users.clas.ufl.edu/fgregory/Newton_apple.htm.

● Gregory, Frederick. “The Moon as Falling Body.” Department of History, University of Florida, 1998. http://users.clas.ufl.edu/fgregory/Newton_moon2.htm.

● Keesing, Richard. “A Brief History of Isaac Newton’s Apple Tree.” University of York, Department of Physics. https://www.york.ac.uk/physics/about/newtonsappletree/.

● Moore, Alan. “Alan Moore on William Blake’s Contempt for Newton.” Royal Academy, December 5, 2014. https://www.royalacademy.org.uk/article/william-blake-isaac-newton-shmolean-oxford.

● Voltaire. Letters on England. Translated by Henry Morley. Transcribed from the 1893 Cassell & Co. edition. https://www.gutenberg.org/files/2445/2445-h/2445-h.htm.

* Ницше Ф. Об истине и лжи во вненравственном смысле // Ницше Ф. О пользе и вреде истории для жизни. Сумерки кумиров, или Как философствовать молотом. О философах. Об истине и лжи во вненравственном смысле. – Минск: Харвест, 2003. – С. 356.

● Berkeley, George. The Analyst, edited by David R. Wilkins, 2002. Based on the original 1734 edition. https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf.

● Frost, Robert. “Education by Poetry.” Amherst Graduates’ Quarterly (February 1931). http://www.en.utexas.edu/amlit/amlitprivate/scan/edbypo.html.

● Atiyah, Michael. “The Discrete and the Continuous from James Clerk Maxwell to Alan Turing.” Лекции, представленные на Пятом ежегодном форуме лауреатов премии Гейдельберга 29 сентября 2017 г.

● Bardi, Jason Socrates. The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time. New York: Basic Books, 2007.