Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Броуновские фракталы из пространства (или сферы) в прямую:

- функция из ℝ 2 в ℝ / 3/ 5/2/ 2/359

- нуль-множество функции из ℝ 2 в ℝ / 2/ 3/2/ 1/359

- скалярные изоповерхности турбулентности Бюргерса/ 3/ 5/2/ 2/30

Броуновские H - дробные фракталы из прямой в пространство

- след при H>1/E/ E/1/H/ 1/353, 354

- нуль-множество/ 1/ 1−H/ 0/353, 354

- функция/ 2/ 2−H/ 1/353, 354

Броуновские H - дробные фракталы из пространства в прямую:

- функция из ℝ 2 в ℝ / 3/ 3−H/ 2/489

- нуль-множество функции из ℝ 2 в ℝ / 2/ 2−H/ 1/489

- скалярные изоповерхности турбулентности Колмогорова/ 3/ 8/3/ 2/30

Устойчивый по Леви процесс с D<2 : его след/ E/D/ 0/527

Аполлониевы салфетка и сеть (точные границы: 1,300197 )/ 2/1,3058/1/245

Нормированное случайное блуждание / многоугольник в ℝ 2 / 2/1,33/1/336

Нормированное случайное блуждание в ℝ 3 / 3/1,67/1/458 и д.

Критический кластер в бернуллиевой перколяции:////

- полный кластер в плоскости/ 2/1,89/1/184

- магистраль кластера в плоскости/ 2/1,6/1/185

- магистраль кластера в ℝ E при малых E/ E/log 2 (E+1)/ 1/188

Очень тонкий шар/ E/ 0/0/35

Очень тонкая нить/ E/ 1/1/35

Пустая сфера (полированная снаружи и изнутри)/ 3/2/2/35

Полированный шар (заполненный)/ 3/3/3/35

Морское побережье (показатель Ричардсона)/ 2/1,2/1/57

Совокупный берег речной сети/ 2/2/1/7

Контур отдельной реки (показатель Хака)/ 2/1,2/1/161

Кровеносная система/ 3/3/2/214 и д.

Легочная мембрана в масштабах ветвления/ 3/2,90/2/166, 225 и д.

Кора дерева/ 3/3/2/

Фрактальные ошибки/ 1/0,30/0/8

Галактики в скейлинговом диапазоне размеров/ 3/1,23/0/9

Турбулентность: несущее множество рассеяния/ 3/2,50 – 2,60/2/10, 11

Частота употребления слов/ NA/ 0,9/ NA/ 38

Между отправкой книги в печать и ее действительной публикацией, и затем в течение того краткого времени, за которое разошелся первый тираж, фрактальная геометрия отнюдь не стояла на месте. Все быстрее внедрялась она в те области, где ее уже приняли, и даже проникла в несколько новых.

Я, в частности, организовал недельный семинар по фракталам, который прошел в июле 1982 г. в городке Куршевель (Франция), и на котором были впервые представлены многие новые разработки. Главной целью настоящего дополнения является обобщение этих результатов и некоторых других, тесно с ними связанных. Некоторые источники (помеченные в дополнительном списке литературы звездочкой *) привлекают внимание к другим работам, представленным на семинаре.

Вообще, становится трудно поверить, что всего несколько лет назад фрактальной геометрией природы кроме меня и нескольких моих ближайших сотрудников не занимался практически никто. Теперь же я, в лучшем случае, могу лишь (с помощью списка дополнительной литературы) обратить внимание читателя на вышедших на нашу сцену новых блестящих актеров.

Темы в дополнении располагаются приблизительно в том же порядке, что и в главном эссе.

К сожалению, этой скучной темы нам избежать не удастся, однако на сей раз, она занимает милосердно мало места.

Термин «хаусдорфова размерность», к немалой моей досаде, применяется теперь безо всякого разбору и к размерностям, перечисленным в главе 39, и ко всевозможным их вариантам. То же можно сказать и о «размерности Минковского», термине, который я однажды использовал на с. 164 эссе «Objects fractals» (1975) для обозначения размерности Булигана. Дело, очевидно, в том, что определенные неанглоязычные статьи, авторы и темы которых благодаря моей работе перестали наводить страх на научную общественность, приобрели некоторое влияние, вследствие чего им стали приписывать – причем зачастую понаслышке! – всевозможные достижения … и прегрешения.

Другие авторы бросились в противоположную крайность, сделав чрезмерно большой упор на методах, чаще всего используемых для оценки размерности D в практической деятельности – таких, например, как определение размерности подобия (см. с. 189 и 305) показателя в соотношении между массой и радиусом или спектрального показателя – и «канонизировав» их как методы определения «единственно верной» фрактальной размерности.

К сожалению, большинство вышеупомянутых реакций на «Фракталы» 1977 г. проявились слишком поздно. Знай я обо всем этом раньше, я, пожалуй, вернулся бы в настоящем эссе к подходу, хорошо зарекомендовавшему себя в «Objets fractals» (1975), т.е. отказался бы от поисков педантичного определения для термина «фрактал» и использовал бы «фрактальную размерность» в качестве общего термина, применимого ко всем вариантам размерностей, перечисленным в главе 39, а для каждого конкретного случая подбирал бы определение, наиболее подходящее в данной конкретной ситуации.

Глава 11 этого эссе написана исключительно с целью выразить мое основное предположение относительно турбулентности, которое заключается в том, что турбулентность в вещественном пространстве представляет собой феномен на несущем множестве размерности D~2,5−2,6 .