Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

«Общеизвестно, что хороший учитель, давая ученикам строгое определение непрерывности, покажет прежде, что лежащая в основе

этого понятия идея хорошо им знакома. Он построит на доске какую-нибудь вполне непрерывную кривую и, перемещая вдоль нее линейку, скажет: «Как видите, касательная существует во всех точках кривой». Или, например, для того, чтобы ознакомить учеников с понятием истинной скорости движущегося объекта в некоторой точке его траектории, учитель говорит: «Вы, разумеется, понимаете, что среднее между значениями скорости в двух соседних точках не изменяется сколько-нибудь существенно при приближении этих точек друг к другу на бесконечно малое расстояние». И многие люди, полагая, что для некоторых всем знакомых движений такой взгляд достаточно точно отражает положение вещей, не желают замечать, что все не так просто.

Математики, однако, прекрасно понимают, что попытка показать при помощи построения кривых то, что каждая непрерывная функция имеет производную, по меньшей мере, наивна. Хотя дифференцируемые функции и являются самыми простыми, они все же представляют собой исключение. Говоря языком геометрии, кривые, не имеющие касательных, могут считаться правилом, в то время как правильные кривые — такие, например, как окружность — любопытным, но весьма частным случаем.

Изучение же общего случая представляется, на первый взгляд, остроумным, но совершенно искусственным упражнением для праздного интеллекта — этакое стремление к абсолютной точности, доведенное до абсурда. Те, кто впервые слышит о кривых без касательных или о функциях без производных, часто склонны полагать, что в Природе не существует ни подобных сложных конструкций, ни даже намека на них.

Это, однако, неверно — математики со своей логикой оказываются ближе к реальности, нежели физики с их практическими представлениями. В качестве иллюстрации к этому утверждению взглянем непредвзято на некоторые экспериментальные данные.

Возьмем, например, одну из белых чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла. С некоторого расстояния может показаться, что чешуйка имеет четко очерченный контур, однако при более близком рассмотрении четкость исчезает. Мы больше не можем провести мысленно касательную к любой точке этого контура. Вполне удовлетворительная, на первый взгляд, линия оказывается либо перпендикулярной к границе, либо наклонной. Использование увеличительного стекла или даже микроскопа ничуть не уменьшает неопределенности — при каждом очередном увеличении возникают новые неправильности, и нам никак не удается получить такую же четкую и гладкую границу, как, например, у стального шарика. Таким образом, если считать последний классической иллюстрацией непрерывности, то на примере нашей чешуйки можно сформулировать более общее понятие непрерывной функции, не имеющей производной.»

Прервемся ненадолго, чтобы взглянуть на рисунки 25 и 26.

Здесь и далее черно-белые иллюстрации приводятся сразу же после соответствующей главы и нумеруются номерами страниц, на которых они расположены. Цветные иллюстрации собраны в отдельной вклейке, причем пояснения к этим иллюстрациям не связаны непосредственно с остальным содержанием книги.

Продолжим цитату.

«Не следует забывать о том, что данная неопределенность положения касательной в некоторой точке контура ни в коей мере не то же самое, что и неопределенность, наблюдаемая, скажем, на карте побережья Бретани. Хотя карта также будет изменяться в зависимости от масштаба, мы всегда сможем найти касательную, так как карта — это всего лишь условный рисунок. Напротив, существенным свойством нашей чешуйки, равно как и самого побережья, является следующее: можно только предполагать — так как увидеть этого мы не в состоянии, — что их границы в любом масштабе включают в себя такие детали, которые полностью исключают возможность существования какой-либо определенной касательной.

Не покидая экспериментально подтверждаемой реальности, мы наблюдаем под микроскопом проявление броуновского движения на примере малой частицы, взвешенной в толще жидкости (см. рис. 29). Мы видим, что направление прямой, соединяющей точки, соответствующие двум очень близким во времени положениям частицы, изменяется по мере уменьшения временного промежутка между двумя измерениями совершенно беспорядочно. Беспристрастный наблюдатель заключит из этого, что он имеет дело с функцией, не имеющей производной, а вовсе не с кривой, к которой в любой ее точке можно провести касательную.

Хотя близкое рассмотрение любого объекта ведет в общем случае к обнаружению его в высшей степени неправильной структуры, не следует забывать и о том, что можно весьма достоверно оценить его свойства с помощью непрерывных функций. Древесина бесконечно пориста, однако нам удобнее считать, что поверхность отпиленного и обструганного деревянного бруска имеет конечную площадь. Иными словами, в определенном масштабе и при определенных методах исследования можно полагать, что многие феномены представимы в виде правильных непрерывных функций — так, оборачивая кусок губки фольгой, вовсе не обязательно точно следовать всем изгибам сложной поверхности губки.

Более того, если мы считаем, что материя обладает бесконечно зернистой структурой — а это вполне в духе атомной теории, — то возможность применять к реальности строгое математическое понятие непрерывности сводится почти на нет.

Рассмотрим, например, способ, с помощью которого мы определяем плотность воздуха в заданной точке в заданный момент времени.

Мы мысленно рисуем сферу объема v с центром в упомянутой точке, содержащую массу воздуха то. Отношение m/v определяет среднюю плотность воздуха внутри сферы, истинной же плотностью мы считаем некоторое предельное значение этого отношения. Это понятие, однако, предполагает, что средняя плотность для сфер, меньших некоторого объема, практически постоянна. Средняя плотность воздуха в сфере объемом 1000м 3 может значительно отличаться от плотности в сфере объемом 1см 3 , но для сфер объемом в 1см 3 и 0,001мм 3 ожидаемая разница составит величину лишь порядка К)

Предположим, что объем постепенно уменьшается. Вместо того, чтобы уменьшаться вместе с ним, флуктуации только растут. Для масштабов, при которых наблюдается броуновское движение, флуктуации достигают уже 10 −3 , а когда радиус нашей гипотетической сферы достигает сотых долей микрона, порядок флуктуаций возрастает до 0,2.

Еще немного, и радиус малой сферы достигает размеров молекулярного порядка. Будучи помещена внутрь области, заполненной газом, такая сфера, в общем случае, оказывается в межмолекулярном пространстве, где средняя плотность по определению обращается в нуль. Истинная плотность в данной точке также обращается в нуль. Но приблизительно в одном случае из тысячи точка окажется внутри молекулы, и средняя плотность в ней будет в тысячи раз больше, чем то значение, которое мы обычно считаем истинной плотностью газа.