Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Отталкиваясь от этой картины, Фишер предположил, что площадь и объем конденсирующейся капли связаны формулой, эквивалентной соотношению (площадь) 1/D =(объем) 1/3 . Фишер оценивает величину D аналитически, не задумываясь о ее геометрическом смысле, мы же с неизбежностью должны признать, что поверхности капель представляют собой фракталы размерности D .

Чтобы проиллюстрировать соотношение между площадью и объемом в важном предельном случае D=3 и в то же время довершить изгнание дьявола из кривых Пеано, представленных в главе 7, рассмотрим одну широко известную проблему из сравнительной анатомии в терминах почти заполняющих пространство поверхностей.

Объем головного мозга млекопитающих колеблется от 0,3 до 3000 мл, причем у мелких животных его кора выглядит относительно или совершенно гладкой, тогда как у крупных животных она покрыта видимыми складками, независимо от положения животного на эволюционной лестнице. Зоологи утверждают, что отношение количества белого вещества (образованного нейронными аксонами) к количеству серого вещества (где находятся окончания нейронов) приблизительно одинаково у всех млекопитающих, и для того, чтобы поддерживать это отношение, кора большого мозга неизбежно собирается в складки. Знание того, что степень складчатости обусловлена чисто геометрическими причинами, освобождает человека от страха перед интеллектуальным превосходством дельфинов или китов — они, конечно, больше, однако вовсе не обязательно более высокоразвиты.

Количественная характеристика такой складчатости не под силу стандартной геометрии, но прекрасно вписывается в рамки геометрии фрактальной. Объем серого вещества приблизительно равен произведению его толщины на площадь внешней оболочки мозга, называемой на латыни pia. Если толщина ε одинакова для всех видов, то площадь оболочки будет пропорциональна не только объему серого вещества, но и объему белого вещества, а значит — полному объему мозга V . Следовательно, из соотношения между площадью и объемом получим D=3 , а оболочка будет поверхностью, которая за вычетом толщины ε заполняет пространство.

Эмпирическое соотношение между площадью и объемом лучше описывается выражением A∝V D/3 , где D/3 приблизительно находится в интервале от 0,91 до 0,93 (сведения получены из частной беседы с Джерисоном и основаны на экспериментальных данных Элиаса-Шварца, Бродмана и др.). Первое приходящее в голову объяснение заключается в том, что мозговая оболочка лишь частично заполняет пространство ( 2,73 ). В соответствующем разделе главы 17 вкратце изложены несколько более продвинутые соображения.

Найдется ли среди моих читателей биолог, который будет так любезен, что встанет и объявит всем окружающим, что предыдущий раздел не имеет никакой практической ценности и не открывает ничего нового? Я, со своей стороны, был бы чрезвычайно рад услышать такое заявление, поскольку оно лишь подкрепило бы некоторые мои рассуждения, помещенные в начале главы 7. Несмотря на то, что биолог предпочтет обойти за милю любую поверхность Пеано, устроенную для него математиками, я утверждаю, что лучшие теоретики от биологии хорошо знакомы с основной идеей таких поверхностей.

Таким образом, главная новость предыдущих разделов относится к поверхностям размерности D<3 , введение которых (как мы убедились) необходимо для согласования теории с экспериментом. Рассмотрим возможность применения этих новых поверхностей в биологии, обсудив вкратце их полезность при выяснении подробной структуры некоторых живых мембран.

Начнем с краткого резюме раздела 4.3.7 труда Вайбеля «Стереологические методы» (см. [586]). Оценки общей площади поверхности альвеол человеческого легкого противоречивы: оптическая микроскопия дает 80м 2 , в то время как по данным электронной микроскопии площадь альвеол составляет 140м 2 . Существенно ли это расхождение? Ответственные за него мелкие детали не играют никакой роли в газообмене, будучи сглажены покрывающим их жидким слоем (в результате чего функциональная площадь альвеол еще более уменьшается), однако они весьма важны для обмена растворами. Из проведенных измерений (спровоцированных, кстати, моей статьей «Побережье Британии») можно в первом приближении заключить, что мембранная размерность D=2,17 в широком диапазоне масштабов.

Паумгартнер и Вайбель [464] рассмотрели субклеточные мембраны в клетках печени. В этом случае также возникает расхождение между различными оценками площади на единицу объема, и здесь оно также легко устранимо, стоит лишь нам постулировать D=2,09 для внешней митохондриальной мембраны (которая окружает клетку и по гладкости лишь немногим отличается от мембран с минимальным отношением площадь/объем). Для внутренних митохондриальных мембран D=2,53 , а для эндоплазматической сети D=1,72 .

Заметим еще, что носовая кость многих животных обладает чрезвычайно сложной структурой, в результате чего площадь покрывающей эту кость «мембраны» оказывается очень большой при сравнительном малом объеме. У оленей и песцов эта мембрана, возможно, служит для усиления обоняния, а вот у верблюдов аналогичная структура выполняет водосберегающую функцию [512].

Рассмотрим еще одну иллюстрацию соотношения между площадью и объемом, на этот раз в компьютерном аспекте. Компьютеры не являются естественными системами, но это не должно нас останавливать. Этот и некоторые другие прецеденты призваны продемонстрировать, что с помощью фрактальных методов можно, в конечном счете, описать любую естественную или искусственную «систему», состоящую из отдельных «элементов», самоподобно связанных между собой (кроме того, приоритетными в системе должны являться не свойства элементов, а правила их соединения).

Сложные компьютерные системы, как правило, разделены на многочисленные модули. Каждый состоит из некоторого большого числа C компонентов и связан со своим окружением некоторым большим числом T соединений. Оказывается, что T 1/D∝C 1/E с точностью до нескольких процентов. (Причина необычного написания показателей прояснится чуть ниже.) В корпорации IBM это правило приписывают Э. Ренту (см. также [288]).

Согласно предварительным данным, D/E=2/3 ; это же значение Р. У. Киз [264] экстраполирует на гигантские «схемы» нервной системы (оптический нерв и мозолистое тело). Однако с ростом эффективности системы отношение D/E увеличивается. Эффективность, в свою очередь, отражает степень параллелизма, заложенную в систему. В частности, конструкции с крайними показателями характеризуются крайними значениями D . В сдвиговом регистре модули выстроены в ряд и T всегда равно 2, независимо от C : следовательно, D=0 . При интегральном параллелизме каждый компонент требует отдельного соединения, т. е. T=C , или D=E .