Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Относительно пренебрежимые множества.В более общем виде неравенство D c выражает то обстоятельство, что длина кривой, построенной только с помощью генератора береговой линии, пренебрежимо мала по сравнению с длиной всего побережья. Аналогичным образом, прямая ( D=1 ) пренебрежимо мала по сравнению с плоскостью ( D=2 ). Примерно по той же причине, по какой точка, выбранная наугад на плоскости, практически никогда не попадает на ось x , точка, выбранная наугад на «сердцевинном» острове, со всех сторон окруженном субостровами, почти никогда не приходится на его береговую линию.

В масштабно-инвариантной Вселенной различие между островом и континентом не может основываться на традиции или «относительном размере». Единственный разумный подход состоит в том, чтобы определить континент как особый остров бесконечного диаметра. Ниже я намерен показать, что построения, приведенные в начале главы, практически никогда не генерируют континентов. < Для тех, кто знаком с теорией вероятности: вероятность того, что такое построение даст в итоге континент, равна нулю. ►

При разумном подходе к поискам континента следует отказаться от раздельного выбора инициатора и генератора. С этого момента нам придется использовать один и тот же генератор и для интерполяции, и для экстраполяции. Процесс осуществляется в несколько последовательных этапов, каждый из которых разбивается на шаги. Он очень напоминает экстраполяцию канторова множества в главе 8, однако заслуживает более подробного описания.

Первый шаг укрупняет выбранный нами генератор в отношении 1/r . На втором этапе мы некоторым образом «помечаем» одно из звеньев увеличенного генератора. На третьем — смещаем увеличенный генератор так, чтобы помеченное звено совпало с интервалом [0, 1]. Четвертый и последний этап заключается в интерполяции оставшихся звеньев увеличенного генератора.

Процесс повторяется до бесконечности, причем его течение и результат определяются последовательностью положений «помеченных» звеньев. Эта последовательность может принимать различные формы.

Для получения первой формы берег-генератор должен включать в себя некоторое положительное число N c −2 «некрайних» звеньев, которые, по определению, принадлежат генератору, но не содержат его концевых точек (0 или 1). Если мы последовательно помечаем некрайние звенья, каждый этап экстраполяции растягивает исходный участок береговой линии и в пределе приводит к включению этого участка во фрактальное побережье бесконечной протяженности в обоих направлениях. Следовательно, построение континентальной береговой линии, исходя из таких начальных условий, вполне возможно.

Вторая форма: всегда помечаем какое-либо из крайних звеньев берег-генератора, причем каждая из двух возможностей выбирается бесконечное количество раз. В этом случае исходный участок побережья также растягивается до бесконечности. Если каждый раз выбирать одно и то же звено, береговая линия будет удлиняться только в одном направлении.

Чтобы получить третью форму, будем всегда помечать звено, принадлежащее остров-генератору. Тогда остров, который до экстраполяции был самым большим, окажется вблизи берегов большего острова; после следующего этапа этот больший остров окажется у берегов еще большего острова, и т. д. до бесконечности. Континента при таком построении мы не получим вовсе.

В следующем замечании мы воспользуемся некоторой толикой «вероятностного здравого смысла», который, должно быть, не чужд ни одному читателю. Предположим, что помечаемое звено выбирается посредством броска N -гранной кости. Для того, чтобы получить при экстраполяции континент, необходимо, по всей видимости, чтобы всякая метка после некоторого конечного ( k -ro) этапа попадала на одно из N c −2 некрайних звеньев берег-генератора. Назовем эти звенья «выигрышными». Чтобы после k этапов иметь уверенность в том, что мы получим в итоге континент, мы должны быть уверены, что каждый последующий бросок нашей кости без единого исключения окажется выигрышным. Такая удача, безусловно, возможна, однако вероятность ее стремится к нулю.

Так как острова Коха взаимоподобны, их диаметр Λ можно переопределить как расстояние между двумя любыми заданными точками, которые лучше всего выбирать на береговой линии. Кроме того, при получении соотношения между диаметром и количеством мы пользовались, в основном, наличием у генератора береговой части. Тем же обстоятельством, что оставшиеся звенья генератора образуют острова, или тем, что они избегают самопересечений, мы так по-настоящему и не воспользовались. Таким образом, соотношение

Nr(Λ>λ)=Fλ −D .

имеет очень широкую область применения. < Можно даже отказаться от непременного условия отсутствия пересечений терагонов, образованных двумя интервалами. ► Покажем теперь на примерах, как конфигурация N−N c исходных звеньев может повлиять на топологию образующегося фрактала.

Комбинация островов и озер.Ранее мы располагали остров- генератор слева и в направлении по часовой стрелке. Попробуем теперь расположить его также в направлении по часовой стрелке, но справа. В результате вместо островов мы получим озера. Кроме того, можно включить в один генератор u острова, u озера. В обоих случаях предельный фрактал представляет собой σ -петлю, компоненты которой вложены друг в друга. Рассмотрим, например, генератор

Если инициатором служит квадрат, мы получим на некотором отдаленном этапе построения следующий терагон:

Неуловимый континент. На вышеприведенном рисунке можно видеть, что длина стороны инициатора вносит не присущий генератору внешний порог. Более последовательным решением будет экстраполировать эту длину, как мы поступили в случае островов без озер. Однако и в этом случае мы можем быть почти уверены, что мы получим не континент, а лишь бесконечно вложенные друг в друга острова и озера.

Соотношение между площадью и количеством. При определении площади острова (или озера) можно исходить либо из общей площади фигуры, либо из площади суши (или воды) в пределах береговой линии. Эти две величины связаны между собой постоянным коэффициентом, т. е. влияют на количество Nr(A>a) через его префактор F' , а не через показатель D/2 .