Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Комбинация интервалов и деревьев.Допустим теперь, что оставшиеся N−N c звеньев образуют либо ломаную с двумя свободными концами, либо дерево. В обоих случаях фрактал разделяется на бесконечное множество не связанных между собой элементов, каждый из которых представляет собой кривую. Такую сг-кривую уже нельзя считать σ -петлей; уместнее, пожалуй, будет назвать ее σ -деревом или σ -интервалом.

Генератор может также сочетать в себе петли, ветви и разные другие топологические конфигурации. Связные части предельных фракталов, получаемых при таком построении, напоминают кластеры из теории перколяции (как будет показано позже в этой главе) и из многих других областей физики. Для нас использование термина «кластер» чрезвычайно неудобно, так как совсем недавно (при рассмотрении пылевидных множеств в главе 9) мы вкладывали в него несколько иной смысл. Стало быть, необходим более точный и — как следствие — более громоздкий термин. Я решил остановиться на словосочетании «контактный кластер». Хорошо еще, что в термине «сг-кластер» нет такой двусмысленности.

(Можно заметить, что контактный кластер имеет однозначное и естественное математическое определение, тогда как понятие кластеризации в пыли размыто и интуитивно и определяется, в лучшем случае, через весьма спорные статистические законы.)

Контактные кластеры, заполняющие плоскость.В случае, когда размерность D достигает своего максимума D=2 , остаются в силе рассуждения из предыдущего раздела, однако возникает необходимость в кое-каких добавочных замечаниях. Каждый отдельный кластер стремится к некоторому пределу, который может представлять собой прямую или — как бывает чаще всего — фрактальную кривую. С другой стороны, все кластеры в совокупности образуют σ -кривую, ответвления которой заполняют плоскость в высшей степени плотно. В пределе эта σ -кривая ведет себя подобно кривым из главы 7: она перестает быть кривой и становиться областью плоскости.

Неуловимый бесконечный кластер.Данный подход ни в коем случае не подразумевает возможности образования действительно бесконечного кластера. Можно легко построить топологию генератора таким образом, чтобы любая данная ограниченная область была почти наверняка окружена контактным кластером. Этот кластер, в свою очередь, почти наверняка окажется окружен большим кластером и т. д. Размер кластера сверху ничем не ограничен. В более общем виде: если кластер представляется бесконечным только потому, что он окружает очень большую область, то стоит лишь вспомнить о том, что сам он окружен кластером еще большего размера, и конечный размер любого кластера перестанет вызывать сомнения.

Переформулируем функцию Nr(Λ>λ) двумя способами: первый состоит в замене диаметра кластера λ его массой μ , второй — в назначении единице размера контактного кластера некоторого веса.

Массой кластера здесь называется просто количество звеньев длины b −k в самом кластере (только не считайте звенья внутри петельных кластеров). В сущности (см. главы 6 и 12), мы строим несколько модифицированную сосиску Минковского (рис. 57), размещая в каждой вершине квадрат со стороной b −k и добавляя по половине квадрата к каждой концевой точке.

Масса кластера диаметра Λ равна площади его модифицированной сосиски, M∝(Λ/b k) Dc(b k) 2=Λ Dc/(b k) Dc−2 . Поскольку D c <2 , масса M стремится к нулю при k→∞ . Масса всех контактных кластеров в совокупности пропорциональна (b k) D−2 ; при D<2 она также стремится к нулю. Что касается относительной массы каждого отдельного кластера, то она пропорциональна (b k) Dc−D ; скорость ее стремления к нулю возрастает при увеличении значения разности D−D c .

Соотношение между массой и количеством.Очевидно, что

Nr(M>μ)∝(b k) −D+2D/Dcμ −D/Dc ,

Распределение диаметра, наделенного массой.Заметим, что величина Nr(Λ>λ) представляет собой количество строк, расположенных выше строки с номером λ в списке, в котором перечисляются контактные кластеры в порядке уменьшения их размеров. Однако сейчас нам необходимо сопоставить каждому контактному кластеру количество строк, равное его массе. Как нетрудно убедиться, окончательное выражение имеет вид

Wnr(Λ>λ)∝λ −D+Dc .

Обозначим фрактал размерности D , рекурсивно построенный из инициатора [0, Λ ], через F и примем его общую массу за Λ D . Если F — канторова пыль, то, как нам известно из главы 8, масса M(R) , содержащаяся в диске радиуса R<���Λ с центром в нуле, пропорциональна R D . < Величина ln[M(R)R −D] представляет собой периодическую функцию от log b (Λ/R) , однако мы не станем задерживаться на этих сложностях, так как они исчезают, стоит лишь модифицировать фрактал таким образом, чтобы все значения r>0 оказались допустимыми коэффициентами самоподобия. ►

Мы знаем, что правило M(R)∝R D применимо также к кривой Коха (см. главу 6). Кроме того, оно распространяется и на рекурсивные острова и кластеры, рассматриваемые в этой главе, только D следует заменить на D c . Во всех случаях масса, содержащаяся в диске радиуса R с центром в нуле, определяется выражением

M(R,Λ)=R Dcφ(R/Λ) ,

где φ — функция, выводимая из формы фрактала F . В частности:

M(R,Λ)∝R Dc при R≪Λ ;

M(R,Λ)∝Λ Dc при R≫Λ .

Рассмотрим теперь среднее взвешенное значение M(R) в случае, когда Λ изменяется в соответствии с весьма широким гиперболическим распределением Wnr(Λ>λ)∝λ −D+Dc , и обозначим это среднее через . Известно, что 1≤D c . Исключив сочетание D=2 и D c =1 , можно записать 0 c c . Следовательно,

∝R Q , где Q=2D c −D>0 .

Когда центр диска находится не в точке 0, а в какой-либо другой точке фрактала F , изменяется только коэффициент пропорциональности, тогда как показатель остается неизменным. Не изменяется он и при усреднении по всем положениям центра в F , и при замене интервала [0, 1] другим инициатором. < Обычно берут дугу кривой произвольной длины Λ и произвольной же формы. Вышеприведенные формулы для M(R,Λ) применимы и для , усредненного по всем формам. Окончательный результат всегда одинаков. ►