Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

И все же впервые геометрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в Природе были должным образом освещены лишь в первом издании настоящего эссе в 1975 г.

Покончив с прямыми, евклидова геометрия берется за фигуры, обладающие более богатыми в смысле инвариантности свойствами, обычно называемыми «симметриями». Мы с вами также не преминем отправиться на довольно продолжительную экскурсию в царство неинвариантных фракталов (в главах 15-20).

Самоотображающиеся, но масштабно-неинвариантные фракталы тесно связаны с некоторыми из наиболее тонких и сложных мест «строго классического» математического анализа. Опровергая распространенное мнение о сухости анализа, эти фракталы удивительно прекрасны.

Почти все подлежащие далее рассмотрению прецеденты демонстрируют проявления синдрома расходимости. Иными словами, некоторая величина — по всем предположениям, положительная и конечная — оказывается вдруг бесконечной либо вовсе обращается в нуль. На первый взгляд, такое недостойное поведение кажется в высшей степени странным и даже пугающим, однако тщательное исследование показывает, что оно вполне объяснимо, если ... если, конечно, вы готовы начать мыслить по-новому.

Прецеденты, в которых симметрия сопровождается расходимостью, также давно известны специалистам по квантовой физике, в которой вообще большим почетом пользуются всевозможные аргументы, устраняющие расходимость. К счастью для нас, с фрактальными расходимостями справиться гораздо проще.

Обозначив в общих чертах все разнообразные задачи настоящего эссе, рассмотрим способы, с помощью которых эти задачи решаются. Здесь можно выделить несколько ярко выраженных граней.

Для того, чтобы книга оказалась доступной для ученых и студентов, вовсе не обязательно являющихся специалистами во всех затрагиваемых здесь областях знания (многие из которых, надо признать, весьма эзотеричны), я стремился сделать изложение как можно более ясным.

Однако ясность изложения не является главной целью этой книги.

Кроме того, мне не хотелось отпугнуть тех людей, кому, возможно, не слишком важна математическая точность, но наверняка интересны мои основные выводы. Вам встретятся в книге и строгие математические обоснования моих слов (более здравые, между прочим, чем у многих физиков), однако общий стиль выдержан в неформальном (хотя и точном) ключе. Большая часть математических подробностей отнесена в главу 39 — там можно навести необходимые справки и вдохновиться на создание собственных трудов.

Поскольку для оригинального исследования такие вещи, как правило, не характерны, настоящее эссе можно считать до некоторой степени популяризаторским.

Однако популяризация не является его главной целью.

На примере главы 2 можно видеть, что в книге имеется довольно большое количество ссылок на труды старых и малоизвестных авторов. Большая часть этих работ привлекла мое внимание уже значительно позже того, как я завершил свои собственные исследования в родственных областях, и они никак не повлияли ни на процесс, ни на выводы. Однако после всех тех долгих лет, на протяжении которых никто не разделял моих интересов, я был счастлив обнаружить в старых книгах схожие с моими соображения, пусть высказанные мельком и не возымевшие видимых последствий. Так у меня возник и окреп интерес к «классике», хотя в обычных обстоятельствах он, как правило, не выдерживает испытания рутинной научной практикой.

Иными словами, мне было радостно сознавать, что среди необходимых мне как архитектору и строителю теории фракталов камней есть немало таких, которых касались руки других подобных мне строителей. Однако есть ли смысл вспоминать об этом сегодня? Современная традиция вполне удовлетворилась бы краткими постраничными сносками, а если мне вдруг взбредет в голову подробно распространяться о дальних предках и длинных родословных моих идей, не рискую ли я создать у читателя абсурдное ощущение того, что построенный мною архитектурный шедевр представляет собой лишь груду древних камней, облепленных новыми ярлыками?

Очевидно, моя страсть к древностям нуждается в каком-нибудь оправдании, но я не стану оправдываться. Скажу лишь, что, на мой взгляд, интерес к истории идей полезен для души ученого.

Однако всякий раз, когда мы взираем на труды великих людей с высоты тех знаний, которыми они не обладали, уместно будет поразмыслить над замечательным предисловием, которое написал Лебег к одной из книг Лузина. В ответ на то, что автор упомянутой книги приписывал Лебегу всевозможные глубокие мысли, французский математик заявил, что он, безусловно, мог бы — или даже должен был бы — подумать об этом, однако не подумал, а посему автором этих мыслей следует все же считать Лузина. Аналогичный феномен можно наблюдать в книге Уиттекера [591]: автор заявляет, что физическая теория относительности была создана не Эйнштейном, а Пуанкаре и Лоренцем, и приводит в подтверждение цитаты из их трудов; при этом известно, что и Пуанкаре, и Лоренц подчеркнуто отрицали свою к этому причастность.

Кроме того, на каждого ученого, когда-то в прошлом высказавшего мимоходом некую идею, из которой мы можем сегодня получить рабочую теорию, найдется, по меньшей мере, еще один ученый, его современник, который уверенно заявлял, что упомянутая идея совершенно абсурдна. Стоит ли ставить в заслугу Анри Пуанкаре те идеи, которые он в молодости не удосужился разработать, а в зрелом возрасте и вовсе отверг? Если верить Стенту [540], то незрелые идеи, высказанные слишком рано, не заслуживают ничего большего, нежели сострадательное забвение.

Хотя избыточная эрудиция в отношении истории идей сама по себе, как оказывается, довольно бесполезна, мне все же хотелось как-то зафиксировать эти отголоски прошлого, что я и сделал в биографических и исторических очерках в главах 40 и 41.

Однако демонстрация эрудиции автора никоим образом не является главной целью этой книги.

В своем письме к Дедекинду, написанном в самом начале кризиса математики 1875 - 1925 гг., Кантор, ошеломленный своими поразительными находками, восклицает, переходя при этом с немецкого на французский, что он не может поверить в то, что он видит («Je le vois, mais je ne le crois pas!»1) И математика, словно бы поняв намек с полуслова, принимается усердно избегать обманчивых и искусительных ликов чудовищ. Какой контраст между безудержной вычурностью до- и контрреволюционной геометрии и практически полным отсутствием какого бы то ни было визуального сопровождения в работах Вейерштрасса, Кантора и Пеано! Аналогичный оборот приняли дела и в физике — после того, как в 1800 г. вышла в свет «Небесная механика» Лапласа без единой иллюстрации. Как выразился П. А. М. Дирак в предисловии к изданной в 1930 г. «Квантовой механике», «фундаментальные законы природы управляют мирозданием не так непосредственно, как мы себе это воображаем; они воздействуют на некий субстрат, о котором мы не можем создать для себя никакого представления, не исказив всей картины привнесением в нее наших собственных неуместных добавлений».