Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Если соотношение частот любых двух соседних нот равно r (условие 2), а соотношение частот двенадцатой и первой ноты равно 2 (условие 1), то r 12= 2. Следовательно,

Если настроить музыкальные инструменты таким образом, чтобы соотношение частот соседних нот в октаве было равно не придется перенастраиваться при переходе в другую тональность. Этот музыкальный строй называют равномерно темперированным [51] Равномерно темперированный строй господствует в европейской музыке с XVIII века, однако его теоретическое обоснование встречается уже в работах XVI века, причем не только в Европе, но и в Китае. – Прим. пер. , и сегодня им пользуются все профессиональные музыканты.

К сожалению, число иррационально [52] Доказательство похоже на доказательство того, что значение √2 иррационально. Попробуйте найти его самостоятельно. . Иными словами, соотношение частот двенадцати нот в равномерно темперированном строе (за исключением начала и конца октавы) не может быть выражено через соотношение целых чисел. Соотношение частот до и соль в таком случае равно не 3:2, а примерно 1,4983 (число принято округлять до 1,5).

Как это звучит? Сейчас почти все музыкальные инструменты настраивают по равномерно темперированному строю, и они ласкают наш слух. Но что мы теряем?

Вот как выглядит звуковая волна для трезвучия до мажор . В первом варианте частоты нот соотносятся как 4:5:6, во втором подобраны в соответствии с равномерно темперированным строем. Первый вариант выглядит (и звучит!) гораздо гармоничнее.

Преимущество равномерно темперированного строя состоит в том, что в нем нет необходимости постоянно перенастраивать музыкальные инструменты. Но есть один инструмент, способный менять тональность мгновенно: человеческий голос.

Вокальные ансамбли без инструментального сопровождения (например, «парикмахерские» квартеты [53] Мужские вокальные ансамбли в США, исполняющие популярную музыку а капелла. – Прим. пер. ) не нуждаются в равномерно темперированном строе и берут ноты, соотношение частот которых можно выразить целыми числами. И мы слышим чудесные хорошо резонирующие звуки.

В главе 4 мы поразмышляли над «точным» значением числа √2 и пришли к выводу, что его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел и, следовательно, оно иррационально. Тем не менее мы можем найти его значение с невероятной точностью.

Число √2 не относится к рациональным числам, однако нас не мучает вопрос, существует ли такое число, что x ² = 2. Несмотря ни на что, √2 имеет законную прописку где-то между 1,41 и 1,42. Это пример действительного числа [54] Множество всех действительных чисел обозначают ℝ. . Оно может быть выражено так:

± XXXX, XXXXXXXXXX …

Символом X помечены разные цифры. Число может быть положительным или отрицательным (знак + перед числом ставить не принято), количество цифр до запятой конечно, количество цифр после запятой бесконечно. Скажем, 1⅔ можно записать так [55] См. главу 3, где подробнее рассказано о периодических десятичных дробях. :

1,666666666666…

Такие числа, как 3/4, в десятичной системе счисления записываются с конечным числом цифр после запятой (0,75), но ничто не мешает прикрутить справа бесконечное количество нулей: 0,7500000000…

Таким образом, – реальное число, просто иррациональное. Точнее говоря, существует такое число, что x ² = 2. Точно так же существует такое число, что x ² = 3, а именно И так далее… Или нет?

Всякое ли уравнение x ² = a имеет решение? Если a – положительное действительное число (или ноль), тогда решение равно и ответ можно записать в виде десятичного числа сколько угодно точно. Если мы изобразим график y = x ² – a (для любого квадратного уравнения он представляет собой параболу), решением будут те точки, где кривая пересекает ось абсцисс, или ось x . Иными словами, это такие значения x , при которых x ² = a . На первом рисунке вы можете видеть графики y = x ² – 3 и y = x ² – 7. Первая парабола пересекает ось абсцисс при вторая парабола – при

Вопрос кардинально меняется, когда мы ищем такое число, что x ² = –1. А существует ли оно в принципе? Если возвести в квадрат положительное число, ответом будет положительное число, скажем 5² = 5 × 5 = 25 > 0. Если возвести в квадрат отрицательное число, результат снова будет положительным числом: (–5)² = (–5) × (–5) = 25 > 0. Если возвести в квадрат ноль, получится ноль. Наше положение выглядит безнадежно.

Мы испытаем еще большее отчаянье, когда нарисуем график уравнения y = x ² + 1 и увидим, что парабола нигде не пересекает ось абсцисс.

Есть искушение сдаться и объявить: «Нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел». На самом деле нам просто не хватает воображения. Да, не существует ни одного действительного числа, удовлетворяющего условию x ² = –1, но, возможно, есть какие-то другие?

Решение на редкость просто. Раз нет такого действительного числа, что x ² = –1, то мы просто создадим новое число, назовем его i и поставим условие i ² = –1.

Конечно, в голове сразу зазвучит сигнал тревоги: «Откуда взялось это число? Выдумывать числа нельзя! Что за чепуха!»

Чтобы облегчить душу, назовем новое число мнимым [56] Символ i для обозначения мнимой единицы предложил в конце X VIII века Леонард Эйлер, взяв первую букву латинского слова imaginarius – «мнимый». – Прим. пер. . В наших глазах такое число – второго сорта: мы не кладем i кубиков сахара в чашку кофе и не боимся, что расстояние до университета окажется равным i миль [57] На самом деле так называемые действительные числа ничуть не более реальны, чем мнимые. Мы не кладем в чашку кофе минус три кубика сахара и никогда не говорим, что расстояние от пункта A до пункта B равно в точности √2 Действительные числа полезны для измерения таких физических явлений, как температура или площадь. Мнимые числа полезны в других областях физики, включая квантовую механику и электронику. Все числа мнимые в том плане, что созданы нашим сознанием. .