Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Задумавшись на секунду, мы поймем, что правильных многоугольников бесконечно много: существует правильный n -угольник при любом натуральном n ≥ 3.

Мы вычерчиваем многоугольники на плоскости. А как насчет родственных им фигур в трехмерном пространстве?

«Перешедшие на следующий уровень» многоугольники в трехмерном пространстве называют многогранниками (или полиэдрами). Многогранник – это пространственная фигура с плоскими гранями, каждая из которых представляет собой многоугольник. Среди наиболее известных многогранников – треугольная призма и пирамида с квадратным основанием. Треугольная призма состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. Пирамида состоит из четырех треугольников и одного квадрата.

Как расширить идею правильного многоугольника на пространственные фигуры? Правильный многогранник имеет конгруэнтные [171] Отрезки одинаковой длины или углы одинаковой величины называют конгруэнтными. Две фигуры конгруэнтны, если они совпадают при наложении друг на друга. грани и углы.

Расширение до трех измерений требует, чтобы все части многогранника были конгруэнтны между собой. Таким образом:

– все ребра многогранника равны между собой;

– все углы, под которыми пересекаются два ребра, равны между собой;

– в каждой вершине пересекается одинаковое число ребер;

– все углы между соседними гранями равны между собой.

Из первых двух условий следует, что все грани правильного многогранника конгруэнтны и представляют собой правильные многоугольники.

Наверное, самый известный правильный многогранник – это куб , состоящий из шести граней, каждая из которых представляет собой правильный четырехугольник (квадрат). На рисунке изображены еще четыре правильных многогранника.

• Тетраэдр состоит из 4 равных между собой треугольников.

• Октаэдр состоит из 8 равных между собой треугольников (вообразите, что вы склеили две пирамиды с квадратным основанием).

• Додекаэдр образован 12 правильными пятиугольниками.

• Икосаэдр состоит из 20 равносторонних треугольников.

На рисунке изображены развертки правильных многогранников. Вы можете перерисовать эти фигуры, вырезать их и склеить бумажные модели. В продаже бывают наборы для изготовления правильных многогранников.

Пять правильных многогранников известны под названием платоновы тела [172] Древнегреческий философ Платон не был первооткрывателем этих пространственных фигур, однако подробно описал их в трактате «Тимей» (около 360 года до н. э.), где сказано, что образцом Вселенной для Демиурга послужил додекаэдр, стихия огня состоит из массы мельчайших тетраэдров, стихия земли – из кубов, стихия воздуха – из октаэдров, стихия воды – из икосаэдров. – Прим. пер. . Существуют ли другие правильные многогранники?

На рисунке вы видите звездчатый икосаэдр , чьи грани представляют собой равносторонние треугольники, однако эта пространственная фигура не является правильным многогранником, потому что не все грани пересекаются под равными углами, и не во всех вершинах пересекается одинаковое число ребер (при острых углах пересекаются три ребра, а в звездчатом центре – десять ребер).

Найти другие правильные многогранники нам поможет чудесная формула, названная в честь Леонарда Эйлера (мы впервые познакомились с ним в главе 7).

У многоугольника столько же углов, сколько сторон. Ситуация с многогранниками сложнее: у них есть вершины, ребра и грани. В таблице указано, сколько каких элементов есть у многогранников, с которыми мы познакомились в этой главе:

Изучите таблицу повнимательней. Видите ли вы взаимосвязь между количеством вершин, ребер и граней? Она есть, и достаточно простая. Ответ вы найдете ниже, но гораздо интереснее вывести формулу самостоятельно. Обозначьте количество вершин, ребер и граней буквами V, E и F соответственно [173] Если вы сосредоточенно изучите таблицу в поисках взаимосвязей, то заметите, что параметры для куба и октаэдра симметричны: (8, 12, 6) и (6, 12, 8). Так же обстоит дело с додекаэдром и икосаэдром: (20, 30, 12) и (12, 30, 20). Эту перекличку называют дуальность. Если вы расставите точки по центру каждой грани куба и затем соедините точки, образующие пространственные углы, получится новый многогранник внутри куба: октаэдр. И наоборот, если вы расставите точки по центру каждой грани октаэдра и соедините их между собой, получится куб. Та же дуальность связывает икосаэдр и додекаэдр. .

А пока вы размышляете над выводом формулы соотношения между V, E и F , я сверю данные в таблице. Для простой пространственной фигуры (например, для пирамиды) посчитать количество составляющих ее частей несложно: пять вершин (четыре у основания и одна сверху), восемь ребер (опять-таки четыре у основания и еще четыре, ведущие наверх) и пять граней (четыре треугольника, один квадрат). Тетраэдр и призма тоже не вызывают затруднений. О кубе и говорить нечего – все мы с ним знакомы. У куба восемь вершин (четыре снизу, четыре сверху), 12 ребер (четыре внизу, четыре вверху и четыре вертикальных), 6 граней (мы все играли в кости).

Другие многогранники сложнее себе представить. Ради простоты можно расплющить их следующим образом: представьте, что многогранник пустой изнутри и мы вырезаем ножницами одну из граней, а потом растягиваем многогранник, пока он не станет плоским. На рисунке показано, что получится в итоге.

Начнем с октаэдра. На рисунке ясно видно: V = 6. Во время подсчета граней легко ошибиться и сказать, что их семь, но не будем забывать об одной вырезанной грани. Таким образом, F = 8.

А вот маленький трюк для подсчета ребер. Пометьте штрихом ребра, сходящиеся у каждой вершины, таким образом:

Сколько штрихов на рисунке? У каждой вершины сходятся по четыре ребра, поэтому количество штрихов в четыре раза больше количества вершин: 4 × V = 4 × 6 = 24. С другой стороны, на каждом ребре по два штриха, и если количество штрихов равно 2 E , то E = 12 .