Авинаш Диксит - Стратегические игры

Обратите внимание, что обе линии поднимаются по мере увеличения n . Какое бы действие вы ни выбрали, вам выгодно, чтобы в проекте участвовало больше фермеров. Левая точка пересечения линии S ( n ) с вертикальной осью находится ниже правой точки пересечения линии P ( n + 1), то есть S (0) = 4 < P ( N ) = 102. Это говорит о том, что, если все фермеры (в том числе и вы) откажутся от строительства, выигрыш каждого из них (в том числе ваш) будет меньше, чем в случае согласия. Все фермеры добились бы более весомых результатов, чем при равновесии Нэша, если бы можно было обеспечить исход, при котором каждый из них участвует в проекте. Это и делает игру дилеммой заключенных.

Чем равновесие Нэша, найденное с помощью графика на рис. 11.6, отличается от социального оптимума в этой игре? Для того чтобы ответить на данный вопрос, понадобится способ описать общий социальный выигрыш при каждом значении n ; мы сделаем это с помощью функций выигрышей P ( n ) и S ( n ), чтобы построить третью функцию T ( n ), отображающую общий выигрыш для общества от проекта с n участниками как функцию n . Он состоит из значения P ( n ) для каждого из n участников проекта и значения S ( n ) для каждого из ( N — n ) тех, кто отказался от участия:

T ( n ) = nP ( n ) + ( N — n ) S ( n ).

Социальный оптимум наблюдается в случае, когда соотношение между участниками проекта и отказавшимися от него максимизирует общий выигрыш T ( n ), или при таком количестве участников проекта (то есть при таком значении n ), которое максимизирует T ( n ). Для того чтобы лучше понять, каким может быть этот показатель, удобнее записать T ( n ) иначе, преобразовав представленное выше выражение в такое равенство:

T ( n ) = NS ( n ) — n [ S ( n ) — P ( n )].

Этот вариант функции общего социального выигрыша показывает, что мы можем его вычислить, если дадим каждому из N человек выигрыш уклонившегося от строительства, а затем отнимем дополнительную выгоду [ S ( n ) — P ( n )] отказавшихся у каждого из n участников проекта.

В играх с коллективным действием, в отличие от игр с распределением общих ресурсов, мы обычно ожидаем, что значение S ( n ) будет расти по мере увеличения n . Следовательно, значение первого члена выражения, NS ( n ), также возрастает при увеличении n . Если второй член выражения не увеличивается слишком быстро при увеличении n (как было бы, если бы дополнительная выгода [ S ( n ) — P ( n )] человека, отказавшегося от участия в проекте, представляла собой небольшую и постоянную величину), то эффект первого члена доминирует в определении значения T ( n ).

Именно это происходит с функцией общего социального выигрыша в нашем примере с сотней фермеров. Здесь T ( n ) = nP ( n ) + ( N — n ) S ( n ) преобразуется в T ( n ) = n (2 n ) + (100 — n )(2 n + 4) = 2 n 2 + 200 n — 2 n 2 + 400 — 4 n = 400 + 196 n . В данном случае T ( n ) постепенно увеличивается вместе с n и достигает максимального значения при n = N , когда никто не уклоняется от участия в проекте.

Версия игры с большой группой участников позволяет сделать тот же вывод, что и раньше. Группа фермеров в целом выиграла бы, если бы все фермеры строили оросительную систему, то есть если n = N . Но структура выигрышей такова, что у каждого фермера есть стимул уклониться от этого. Равновесие Нэша в игре (при n = 0) не будет социально оптимальным. Поиск способов достижения социального оптимума — один из важнейших вопросов в области изучения коллективного действия; мы вернемся к нему ниже в данной главе.

В других ситуациях функция T ( n ) может иметь максимум при другом значении n , а не только при n = N . Иными словами, совокупный выигрыш общества можно максимизировать, допустив определенное уклонение от участия в проекте. Даже в случае дилеммы заключенных необязательно должно быть так, что функция общего выигрыша достигает максимума при максимальном значении n . Если разрыв между S ( n ) и P ( n ) растет достаточно быстро при увеличении значения n , то отрицательный эффект второго члена выражения для T ( n ) перевешивает положительный эффект первого члена выражения по мере приближения n к N ; в таком случае лучше всего позволить людям уклониться — другими словами, социально оптимальное значение n может быть меньше N . Этот результат идентичен полученному в ходе анализа второй версии дилеммы заключенных в разделе 1.

Такой исход мы наблюдали бы в нашей деревне, если бы значение S ( n ) составляло 4 n + 4, а не 2 n + 4. Тогда T ( n ) = –2 n 2 + 396 n + 400, что больше не является линейной функцией n . На самом деле графический калькулятор или простейшие расчеты позволяют определить, что в данном случае T ( n ) принимает максимальное значение при n = 99, а не n = 100, как ранее. Изменение структуры выигрышей создало в них неравенство (уклонившиеся от участия в проекте находятся в более выгодном положении, чем его участники), что добавляет еще одну трудность к попыткам общества решить эту дилемму. К примеру, как деревне выбрать одного фермера на роль уклониста?

Теперь рассмотрим ряд других конфигураций выигрышей. Например, когда P ( n ) = 4 n + 36, а значит, P ( n + 1) = 4 n + 40 и S ( n ) = 5 n , две линии выигрышей пересекутся. Этот случай показан на рис. 11.7. Здесь при малых значениях n P ( n + 1) > S ( n ), то есть если некоторые фермеры участвуют в проекте, вам также лучше участвовать. При больших значениях n P ( n + 1) < S ( n ), то есть если многие фермеры участвуют в проекте, вам лучше этого не делать. Обратите внимание, что эти утверждения эквивалентны идее игры в труса из двух человек, согласно которой «вы уклоняетесь, если ваш сосед работает, и работаете, если сосед уклоняется». Этот случай действительно представляет собой игру в труса. В более общем плане игра в труса происходит, когда у вас есть выбор из двух действий и вы предпочитаете делать то, что большинство других игроков предпочитают не делать.

Рис. 11.7.График выигрышей в игре в труса со многими участниками

Кроме того, рис. 11.7 поможет нам определить положение равновесия Нэша в этой версии игры. Поскольку вам выгодно участвовать в проекте при малых значениях n и отказаться при больших значениях n , то равновесие должно быть при каком-то промежуточном значении n . Вам безразлично, какой именно из двух вариантов выбрать, только при значении n , при котором две линии пересекаются. Точка пересечения соответствует равновесному значению n . На нашем графике P ( n + 1) = S ( n ), когда 4 n + 40 = 5 n , или когда n = 40; это и есть соответствующее равновесию Нэша количество фермеров, которые будут строить оросительную систему.