Авинаш Диксит - Стратегические игры

Мы можем описать эффекты, наблюдаемые в примере с поездками на работу и обратно, в еще более обобщенном виде с помощью функции социального выигрыша T ( n ), где n — количество людей, выбравших P , а значит, N — n — это число людей, выбравших S . Предположим, что сначала n людей выбрали P , а также что один человек переключается с S на P . Тогда количество людей, выбравших P , увеличивается на величину от 1 до ( n + 1), а количество людей, выбравших S , уменьшается на величину от 1 до ( N — n — 1). Таким образом, общий социальный выигрыш составляет

T ( n + 1) = ( n + 1) P ( n + 1) + [ N — ( n + 1)] S ( n + 1).

Увеличение общего социального выигрыша равно разности между T ( n + 1) и T ( n ). После приведения и перестановки членов получим следующее уравнение:

T ( n + 1) — T ( n ) = ( n + 1) P ( n + 1) + [ N — ( n + 1)] S ( n + 1) — nP ( n ) — ( N — n ) S ( n ) =

[ P ( n + 1) — S ( n )] + n [ P ( n + 1) — P ( n )] + [ N — ( n + 1)][ S ( n + 1) — S ( n )]. (11.1)

Уравнение (11.1) математически описывает различные эффекты перехода одного человека с S на P , которые мы наблюдали в примере с поездками на работу и обратно. Это уравнение показывает, как предельная социальная выгода делится на предельные изменения выигрышей подгрупп общей совокупности.

Первый из трех членов уравнения ( 11.1) (а именно [ P ( n + 1) — S ( n )]) — это маржинальная личная выгода, полученная человеком, переключающимся на другое действие. Как мы видели выше, именно этот член уравнения определяет выбор человека, причем все отдельные варианты такого выбора образуют равновесие Нэша.

Второй и третий члены уравнения ( 11.1) — количественная оценка сопутствующих эффектов , связанных с влиянием перехода одного человека на всех остальных участников группы. У каждого из n человек, выбравших P , выигрыш меняется на величину [ P ( n + 1) — P ( n )], если еще один человек переключается на P ; этот сопутствующий эффект можно наблюдать во второй группе членов уравнения ( 11.1). После перехода одного человека на другое действие остается еще N — ( n + 1), или N — n — 1, других участников группы, которые по-прежнему выбирают S , причем каждый из них видит, что его выигрыш меняется на [ S ( n + 1) — S ( n )]; этот сопутствующий эффект отображен в третьей группе членов уравнения. Безусловно, выбор одним водителем другого маршрута оказывает совсем незначительное влияние на время пребывания остальных участников движения в пути, однако когда их на дороге очень много (то есть при большом значении N ), совокупный сопутствующий эффект может быть достаточно большим.

Таким образом, мы можем записать уравнение ( 11.1) при переходе одного человека с S на P или с P на S как:

Маржинальная социальная выгода = маржинальная личная выгода + маржинальный сопутствующий эффект.

В примере, в котором один человек переходит с S на P , мы имеем:

Маржинальная социальная выгода = T ( n + 1) — T ( n ),

Маржинальная личная выгода = P ( n + 1) — S ( n ),

Маржинальный сопутствующий эффект = n [ P ( n + 1) — P ( n )] + [ N — ( n + 1)] × [ S ( n + 1) — S ( n )].

Применение дифференциального исчисления к формулам общего случая.Прежде чем более подробно рассматривать некоторые ситуации с наличием сопутствующего эффекта, чтобы понять, что можно сделать для обеспечения социально оптимальных исходов, мы сформулируем общие концепции этого анализа на языке дифференциального исчисления. Если вы не знаете этого языка, можете опустить оставшуюся часть данного раздела, не рискуя нарушить целостность изложенного здесь материала. Если же знаете, альтернативная формулировка покажется вам проще и понятнее, чем представленные выше алгебраические преобразования.

Если общее количество N членов группы очень большое (например, исчисляется в сотнях или тысячах), то одного человека можно воспринимать как совсем небольшую, или бесконечно малую, часть целого. Это позволяет рассматривать n как непрерывную переменную. Если T ( n ) — общий социальный выигрыш, мы вычислим эффект от изменения n , проанализировав увеличение бесконечно малой предельной величины dn вместо увеличения на целую единицу с n до ( n + 1). В первом приближении изменение выигрыша составляет T ´( n ) dn , где T ´( n ) — производная от T ( n ) по n . Воспользовавшись выражением для общего социального выигрыша

T ( n ) = nP ( n ) + ( N — n ) S ( n )

и продифференцировав это выражение, получим

T ´( n ) = P ( n ) + nP ´( n ) — S ´( n ) + ( N — n ) S ´( n ) = [ P ( n ) — S ( n )] + nP ( n ) + ( N — n ) S ´( n ). (11.2)

Это эквивалент уравнения ( 11.1), выраженный в терминах дифференциального исчисления. T ´( n ) — это маржинальная социальная выгода. Маржинальная личная выгода равна P ( n ) — S ( n ), что представляет собой изменение выигрыша человека от перехода с S на P . В уравнении ( 11.1) оно было представлено как P ( n + 1) — S ( n ), теперь же мы имеем P ( n ) — S ( n ). Это объясняется тем, что прибавление бесконечно малой величины dn к группе из n человек, выбравших P , не приводит к существенному изменению выигрыша ни одного из них. Тем не менее общее изменение их выигрыша, равное nP ´( n ), представляет достаточно большую величину и учитывается в вычислении сопутствующего эффекта — это второй член в уравнении ( 11.2), — так же как и изменение выигрыша ( N — n ) человек, выбравших S , то есть ( N — n ) S ´( n ), третий член уравнения ( 11.2). Два последних члена уравнения представляют собой предельный сопутствующий эффект.

В примере с поездками на работу и обратно у нас были такие значения: P ( n ) = 45 — 0,005 n и S ( n ) = 15. Далее с помощью вычислений мы пришли к выводу, что предельная личная выгода каждого водителя, выбирающего автомагистраль, когда n водителей уже движутся по ней, составляет P ( n ) — S ( n ) = 30 — 0,005 n . Поскольку P ´( n ) = –0,005, а S ´( n ) = 0, сопутствующий эффект составляет n × (–0,005) + ( N — n ) × 0 = –0,005 n , что равно −20 при n = 4000. Ответ такой же, как и раньше, но дифференциальное исчисление упрощает процесс его получения и помогает найти оптимум непосредственно.