Авинаш Диксит - Стратегические игры

Если две линии пересекаются в точке, соответствующей целому значению n , это и будет количество участников проекта согласно равновесию Нэша. Если это не так, то, строго говоря, в игре нет равновесия Нэша. Но на практике, если текущее значение n в данной комбинации — целое число, расположенное сразу же слева от точки пересечения (которая может не быть целым числом), то еще один фермер захочет присоединиться к проекту, а если текущее значение n — целое число, расположенное справа от точки пересечения, то один фермер захочет уклониться от него. Следовательно, количество участников будет находиться в непосредственной близости от точки пересечения, и мы можем с полным основанием утверждать, что она и будет равновесием в приближенном смысле.

Структура выигрышей на рис. 11.7показывает, что обе линии имеют положительный наклон, хотя это и необязательно. Можно предположить, что выгода каждого человека уменьшается, когда в проекте участвует больше людей, поэтому линии могут иметь отрицательный наклон. Игре в труса с коллективным действием присуща одна важная особенность: когда всего несколько человек выполняют одно действие, любому другому человеку также лучше его выполнять; когда одно действие выполняет много людей, то другому человеку лучше делать что-то иное.

В чем состоит социально оптимальный исход в игре в труса с коллективным действием? Если выигрыш каждого участника проекта P ( n ) возрастает по мере увеличения числа участников, а выигрыш каждого уклониста S ( n ) не сильно превышает P ( n ) каждого участника, то общий социальный выигрыш достигнет максимума, если все участвуют в проекте. Это и есть исход игры в нашем примере, где T ( n ) = 536 n — n 2; общий социальный выигрыш увеличивается по n до значения N (в данном случае 100), а значит, n = N — это и есть социальный оптимум.

Однако в более общем плане некоторые варианты игры в труса приведут к социальным оптимумам, в которых лучше допустить определенное уклонение от участия в проекте. Если бы в группе было 300, а не 100 фермеров, мы получили бы именно такой исход. Социально оптимальное количество участников проекта, вычисленных с помощью графического калькулятора или простейших расчетов, составило бы 268. В этом и заключается разница между версиями I и II игры в труса в примере, о котором шла речь в разделе 1. В качестве упражнения вы можете попытаться найти структуру выигрышей, которая приведет к такому исходу в деревне с сотней фермеров. В аналогичных более общих вариантах игры в труса оптимальное количество участников может быть даже меньше, чем в случае равновесия Нэша. В разделе 3мы более подробно проанализируем вопрос о социальном оптимуме во всех этих версиях игры.

И наконец, рассмотрим третий возможный тип игр с коллективным действием, а именно игру в доверие. На рис. 11.8 представлены графики выигрышей для такой игры, где мы исходим из предположения, что фермеры получают P ( n + 1) = 4 n + 4 и S ( n ) = 2 n + 100. Здесь S ( n ) > P ( n + 1) при малых значениях n , поэтому, если оросительную систему строят не так уж много фермеров, вам также нужно уклониться от участия в проекте. Но P ( n + 1) > S ( n ) при больших значениях n ; тогда, если многие фермеры участвуют в строительстве, вам тоже лучше к ним присоединиться. Иными словами, в отличие от игры в труса, игра в доверие — это игра с коллективным действием, в которой вам необходимо сделать тот же выбор, что и другие ее участники.

Рис. 11.8.График выигрышей в игре в доверие со многими участниками

За исключением обозначений, график на рис. 11.8 практически идентичен графику на рис. 11.7. Однако положение точки, соответствующей равновесию Нэша, в значительной мере зависит от того, как именно обозначены две линии на графике. На рис. 11.8 показано, что при любом начальном значении n , расположенном слева от пересечения, каждый фермер захочет отказаться от участия в проекте и равновесие Нэша будет достигнуто при n = 0, когда все фермеры уклоняются. Однако справа от точки пересечения складывается прямо противоположная картина. Из этой части графика видно, что каждый фермер пожелает участвовать в строительстве, поэтому в игре сформируется еще одно равновесие Нэша при n = N .

Технически в этой игре существует еще и третье равновесие Нэша, если значение n в точке пересечения целое число, как в нашем примере. Тогда мы можем определить, что P ( n + 1) = 4 n + 4 = 2 n + 100 = S ( n ) при n = 48. Следовательно, если бы n было в точности равно 48, мы увидели бы исход, при котором одни фермеры решили бы реализовывать проект, а другие нет. Эта ситуация могла бы стать равновесием только при таком значении n , но даже тогда она была бы крайне нестабильной. Если бы всего один фермер случайно присоединился не к той группе, его выбор изменил бы стимулы всех остальных фермеров, что привело бы всю игру к одному из равновесий в конечных точках графика. Это и есть два устойчивых равновесия Нэша в данной игре.

Социальный оптимум в этой игре достаточно легко обнаружить на графике на рис. 11.8. Поскольку обе линии на нем восходящие (то есть для каждого члена группы лучше, если в проекте примет участие больше людей), очевидно, что равновесие, которое находится у правого края графика, более благоприятно для всей группы. В нашем примере это подтверждается тем, что значение T ( n ) = 2 n 2 + 100 n + 10 000 возрастает по n при всех положительных значениях n ; следовательно, социально оптимальное значение n — это максимальное значение, или n = N . Стало быть, в игре в доверие социально оптимальный исход — это одно из устойчивых равновесий Нэша. В связи с этим получить его может быть даже легче, чем в ряде других случаев. Однако независимо от того, отображает ли он равновесие Нэша в исходной игре, остается актуальным вопрос, как все это осуществить на практике.

До сих пор в наших примерах фигурировали относительно небольшие группы людей, от 2 до 100 человек. Но когда общая численность группы N достаточно большая, один человек оказывает совсем незначительное влияние на ситуацию, поэтому значение P ( n + 1) почти равно значению P ( n ). Таким образом, условие, при котором любой человек предпочтет уклониться от участия в проекте, выглядит так: P ( n ) < S ( n ). Выразив это неравенство в выгодах и издержках в связи с общим проектом из нашего примера (а именно P ( n ) = B ( n ) — C ( n ) и S ( n ) = B ( n )), мы увидим, что значение P ( n ) (в отличие от P ( n + 1) в наших предыдущих расчетах) всегда меньше S ( n ); отдельные люди постоянно будут стремиться к уклонению от участия в проекте, когда значение N очень большое. Поэтому проблемы коллективной реализации общественных проектов в крупной группе почти всегда проявляются в виде дилеммы заключенных. Однако, как мы уже заметили, такой результат не обязательно будет достигаться в небольших группах. То же касается и больших групп в других контекстах, таких как пробки на дорогах, которые мы обсудим немного ниже в данной главе.