Авинаш Диксит - Стратегические игры

Если голоса двух других членов совета разделятся между вариантами П и С и оба будут голосовать исходя из своих предпочтений, то голос за вариант С должен поступить от голосующего «правого» типа. Однако голос за вариант П мог отдать либо «левый», либо «центральный» тип, голосующий в соответствии со своими предпочтениями. Если голос за вариант П отдал голосующий «левого» типа, то член совета «центрального» типа знает, что есть по одному представителю каждого типа. Если в этой ситуации он проголосует за вариант П согласно своим предпочтениям, этот вариант победит в первом туре, но проиграет варианту Щ во втором туре, при этом «центральный» тип получит выигрыш 0. Если «центральный» тип стратегически проголосует за вариант С, то С победит и А и Щ, а выигрыш «центрального» типа составит u . Напротив, если голос за вариант П получен от голосующего «центрального» типа, то он знает, что в городском совете есть два «центральных» и один «правый» тип, но ни одного «левого» типа. В этом случае правдивое голосование за вариант П позволяет ему победить в первом туре, а во втором вариант П также победит вариант Щ голосами 2 против 1, при этом член совета «центрального» типа получит максимальный выигрыш 1. Если бы «центральный» член совета стратегически проголосовал за вариант С, этот вариант победил бы в обоих турах, а выигрыш «центрального» типа составил бы u .

Для поиска оптимальной стратегии «центрального» члена совета нам нужно сравнить его ожидаемый выигрыш от правдивого голосования с ожидаемым выигрышем от стратегического голосования. Если «центральный» член совета отдает свой голос за П, руководствуясь истинными предпочтениями, его ожидаемый выигрыш зависит от вероятности того, что второй голос за П будет получен от «левого» или «центрального» типа. Вычислить эту вероятность несложно. Вероятность того, что второй голос за вариант П будет получен от «левого» типа, равна вероятности того, что «левый» тип один из оставшихся участников голосования, или p Л/ p Л + p Ц). Аналогичным образом вероятность того, что второй голос за вариант П будет получен от «центрального» типа, равна p Ц / ( p Л + p Ц). Тогда выигрыш представителя «центрального» типа в случае правдивого голосования равен 0 с вероятностью p Л / ( p Л + p Ц) и 1 с вероятностью p Ц / ( p Л + p Ц), а значит, ожидаемый выигрыш составит p Ц / ( p Л + p Ц). При стратегическом голосовании за вариант С он победит независимо от того, кто именно станет третьим участником голосования (С выиграет в любом случае), поэтому ожидаемый выигрыш «центрального» типа составит u . Окончательное решение члена совета «центрального» типа должно быть таким: голосовать в соответствии со своими предпочтениями при условии, что p Ц/ p Л + p Ц) > u .

Обратите внимание, что условие принятия решения «центральным» членом совета интуитивно обоснованно. Если вероятность того, что голосующих «центрального» типа больше, высокая или относительно выше, чем вероятность наличия участника голосования «левого» типа, то члены совета «центрального» типа голосуют в соответствии со своими предпочтениями. Стратегическое голосование принесет «центральному» члену совета пользу только в случае, если он единственный член совета данного типа.

Хотим добавить два дополнительных комментария к теме несовершенной информации и ее последствий с точки зрения стратегического поведения. Во-первых, если количество членов городского совета n — число больше трех, но нечетное, то ожидаемый выигрыш «центрального» типа от стратегического голосования остается равным u , а ожидаемый выигрыш от правдивого голосования составит [ p Ц/( p Л + p Ц)] ( n — 1)/2 [272]. Следовательно, «центральный» тип должен голосовать согласно своим предпочтениям только тогда, когда [ p Ц/( p Л + p Ц)] ( n — 1)/2 > u . Поскольку p Ц/( p Л + p Ц) < 1, а u > 0, это неравенство никогда не будет выполняться при достаточно больших значениях n . Данный результат говорит о том, что симметричное равновесие при голосовании согласно предпочтениям не может сохраниться в многочисленном городском совете! Во-вторых, несовершенная информация о предпочтениях других участников голосования открывает дополнительные возможности для стратегического поведения. В голосовании, состоящем из двух туров, избиратели посредством своих голосов в первом туре могут сигнализировать о своем типе. Дополнительные туры позволяют другим голосующим внести коррективы в свои предшествующие убеждения в отношении вероятностей р Л, р Ци р П, а также действовать с учетом этой информации. Когда парное голосование состоит всего из двух туров, времени для использования информации, полученной в ходе первого тура, не остается, поскольку в последнем туре голосование в соответствии со своими истинными предпочтениями представляет собой доминирующую стратегию всех его участников.

Степень, в которой процедура голосования подвержена стратегическому искажению предпочтений, или стратегическому манипулированию со стороны избирателей (как проиллюстрировано выше), — еще одна тема, вызвавшая повышенный интерес теоретиков голосования. Эрроу не включил требование о неманипулируемости в свою теорему, но в соответствующих работах рассматривается вопрос о том, как такое требование соотносится с условиями Эрроу. Аналогичным образом теоретики проанализировали пределы манипулирования, свойственного различным процедурам голосования, а также составили рейтинг методов голосования.

Экономист Уильям Викри, возможно, более известный своими исследованиями об аукционах (см. главу 16), написал одну из первых работ по стратегическому голосованию избирателей. Он заметил, что процедуры голосования, удовлетворяющие условию независимости от посторонних альтернатив Эрроу, наиболее устойчивы к стратегическому манипулированию. Кроме того, Викри сформулировал ряд условий, при которых стратегическое поведение более вероятно и более эффективно. В частности, он установил, что ситуации с меньшим количеством информированных избирателей и меньшим числом доступных альтернатив особенно подвержены манипулированию в случае использования метода голосования, который сам поддается манипулированию. Однако этот вывод означает, что ослабление условия независимости от посторонних альтернатив открывает путь процедурам с более высоким уровнем манипулирования. В частности, предложенный Саари вариант ранжирования предпочтений по интенсивности (условие интенсивности бинарной независимости), упомянутый в разделе 3.В, позволяет большему количеству процедур голосования удовлетворять модифицированной версии теоремы Эрроу, но в то же время открывает эту возможность и для процедур, в большей степени подверженных манипулированию.