Авинаш Диксит - Стратегические игры

Хотя таблица, представленная на рис. 15.8, достаточно большая, игра решается очень быстро. Начнем с уже знакомого вам поиска доминирующих или доминируемых стратегий двух игроков. И сразу же видим, что для Клаудии стратегия КЛ доминируема стратегией Л, а стратегия КП доминируема стратегией П. В случае Долорес стратегия КЛ также доминируема стратегией Л, а стратегия КП доминируема стратегией П. После исключения крайних стратегий для каждого кандидата стратегия П доминируема стратегией Ц. После исключения двух стратегий П стратегия Ц доминируема стратегией Л в случае каждого кандидата. В итоге в таблице остается одна ячейка — (Л, Л); это и есть равновесие Нэша.

Теперь следует отметить три важные характеристики равновесия в игре с позиционированием кандидатов. Во-первых, они оба располагаются в равновесии в одной и той же позиции. Это иллюстрирует принцип минимальной дифференциации— общий результат всех игр с двумя участниками, которые сводятся к соперничеству за местоположение, будь то выбор кандидатами в президенты политической платформы, или выбор уличными торговцами местоположения тележки для продажи хот-догов, или выбор характеристик продукта производителями электронных устройств [277]. Если людей, голосующих за вас или покупающих у вас продукцию, можно расположить в определенном порядке в определенном диапазоне предпочтений, для вас целесообразнее максимально походить на соперника. Это объясняет многообразие совокупности моделей поведения политических кандидатов и компаний. Кроме того, это поможет вам понять, почему на пересечении автомагистралей с интенсивным движением никогда не бывает только одна автозаправочная станция, или почему все марки четырехдверных седанов (или минивэнов, или внедорожников) выглядят одинаково, хотя каждый производитель утверждает, что постоянно обновляет их дизайн.

Во-вторых, что особенно важно, оба кандидата находятся в позиции медианного избирателя. В нашем примере, при общем количестве 90 миллионов избирателей, медианный избиратель — это избиратель под номером 45 миллионов от каждого конца. Числа в пределах одного местоположения могут быть выбраны произвольно, но местонахождение медианного избирателя определено однозначно; в нашем примере медианный избиратель расположен на шкале политического спектра в позиции Л, где и находятся оба кандидата. Это именно тот результат, который предсказывает теорема о медианном избирателе.

В-третьих, положение медианного избирателя не всегда совпадает с геометрическим центром политического спектра. Эти две позиции совпадают, если распределение избирателей симметрично, но медианный избиратель может располагаться слева от геометрического центра, если распределение смещено влево (как на рис. 15.7), и справа, если распределение смещено вправо. Это позволяет объяснить, почему все политические кандидаты штата Массачусетс, например, чаще бывают либералами, чем кандидаты на аналогичные должности в Техасе или Южной Каролине.

Теорему о медианном избирателе можно сформулировать по-разному. Одна версия просто гласит, что позиция медианного избирателя обеспечивает равновесное положение кандидатов в выборах с двумя кандидатами. Согласно другой версии, наиболее предпочитаемая медианным избирателем позиция будет победителем по Кондорсе; она победит любую другую позицию в парном сравнении. Например, если М — это медианная позиция, а Л — любая позиция слева от М, то М получит все голоса избирателей, отдающих наибольшее предпочтение позиции, находящейся в точке М или справа от нее, плюс некоторые голоса слева от М, но ближе к М, чем к Л. Таким образом, М получит более 50 % голосов. Эти две версии формулировки теоремы равнозначны, поскольку во время выборов с участием двух кандидатов оба кандидата, стремящиеся получить большинство голосов, займут позицию победителя по Кондорсе. Следовательно, эти варианты интерпретации теоремы идентичны. Кроме того, справедливость данного результата для конкретной совокупности избирателей обеспечивает требование данной теоремы (в любой ее форме) о «разумности» предпочтений каждого избирателя, как говорилось выше. Под разумными подразумеваются предпочтения с одним максимумом, как в случае Блэка, о котором шла речь в разделе 3.Аи на рис. 15.4. У каждого избирателя есть единственная, наиболее предпочтительная позиция на шкале политического спектра, и полезность (или выигрыш) избирателя снижается при ее смещении в любую сторону [278]. В случае реальных президентских выборов в США эту теорему подтверждает склонность основных кандидатов давать избирателям весьма похожие обещания.

Теорему медианного избирателя также можно доказать и для непрерывного распределения политических позиций. Вместо выбора из пяти, трех или любого другого конечного числа позиций непрерывное распределениеподразумевает возможность выбора из бесконечного количества политических позиций. При этом они расположены на вещественной числовой оси в диапазоне значений от 0 до 1 [279]. Избиратели, как и прежде, распределены по шкале политического спектра, но поскольку теперь их распределение стало непрерывным, а не дискретным, для иллюстрации их местоположения мы используем функцию распределения [280], а не гистограмму. На рис. 15.9 отображены две простые функции — функция равномерного распределенияи функция (симметричного) нормального распределения [281]. Площадь под каждым графиком соответствует общему количеству имеющихся голосов; в любой заданной точке в интервале от 0 до 1, такой как точка x на рис. 15.9a, число голосов, соответствующих этой точке, равно площади под функцией распределения в интервале от 0 до x . Очевидно, что медианный избиратель в каждом из этих случаев распределения находится в центре политического спектра, то есть в позиции 0,5.

Рис. 15.9.Непрерывное распределение избирателей

В случае непрерывного распределения построить таблицу выигрышей двух кандидатов невозможно; такие таблицы обязательно должны иметь конечное число размерностей, поэтому они не могут вместить бесконечное количество возможных стратегий игроков. Тем не менее мы можем решить эту игру, применив ту же стратегическую логику, что и в случае дискретного (конечного) распределения в разделе 5.А.

Рассмотрим варианты, которыми располагают Клаудия и Долорес в процессе анализа возможных политических позиций, которые они могут занять. Каждая из них знает, что ее задача — найти стратегию, входящую в равновесие Нэша, иначе говоря, свой наилучший ответ на равновесную стратегию соперницы. В этой игре несложно определить стратегии, которые представляют собой наилучшие ответы, хотя всю совокупность таких стратегий описать невозможно.