Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Мои познания о ферменных конструкциях почерпнуты из величайшего человеческого творения — «Википедии». Подробности на страницах https://en.wikipedia.org/wiki/Trussи https://en.wikipedia.org/wiki/Truss_bridge.

Благодарю Кэролайн Гиллоу и Джеймса Батлера (чьи души настолько велики, что разделяющий нас Атлантический океан выглядит просто лужицей) за помощь и поддержку при написании этой главы и за то, что опыт пребывания в Англии был настолько замечательным.

В тот же день мой 11-летний ученик Гарри на мою приветственную реплику: «Ну, как ваш синус-косинус?» — откликнулся: «Сикось-накось!» Я же говорил, преподавать — это кайф.

Я зашел чересчур далеко, ревностно защищая формат бумаги А4. Возможно, потому-то меня и прозвали «неистовый Орлин». (NB: пожалуйста, никогда не называйте меня «неистовый Орлин».) Я сказал, что формат бумаги 8,5 на 11 дюймов никак не соотносится с другими форматами, но это клевета. Удвоение листа дает формат побольше (11 на 17 дюймов), располовинивание листа дает формат поменьше (5,5 на 8,5 дюймов). В этом смысле наш формат ничем не хуже A4.

Но есть одна загвоздка. В формате 8,5 на 11 дюймов одна сторона длиннее другой в 1,29 раз; в соседних форматах это соотношение составляет 1,55. Короче говоря, они имеют разную форму. Если вы когда-нибудь пытались уменьшить или увеличить масштаб ксерокопии, вы понимаете, какую головную боль вызывает это обстоятельство.

Так чем же уникальна серия форматов A1, А2 и так далее? Своей пропорциональностью. Листы бумаги в этой славной череде представляют собой подобные друг другу прямоугольники, отмасштабированные версии своих собратьев.

Я все это знал, когда работал над главой, но все же слишком далеко зашел в пылу риторики. Я благодарю Джо Суини за эту поправку и приношу свои извинения формату 8,5 на 11 дюймов: конечно, он по-прежнему неполноценен, но все же не настолько плох, как я предполагал.

Еще одна отрада в том, что площадь любого листа А1 в точности равна 1 м 2, и лист очередного формата вдвое меньше предыдущего по площади. Таким образом, восемь листов А4 имеют общую площадь в точности 1 м 2(хотя нет, не в точности… из-за иррациональности).

Когда я работал над этой главой, мой коллега и образец для подражания Ричард Бриджес указал мне на прекрасное изложение тех же идей в эссе 90-летней давности. Я многое позаимствовал оттуда: J. B. S. Haldane, «On Being the Right Size», март 1926, https://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.pdf.

Я пренебрегаю высотой, потому что при готовке шоколадных тортов вы никогда не заполняете форму тестом доверху.

Я узнал эту историю из книги Kitty Ferguson, Pythagoras: His Lives and the Legacy of a Rational Universe (London: Icon Books, 2010). Как и многие басни, она, скорее всего, носит апокрифический характер.

Джон Коуэн (я благодарю его за сверку фактов в этой главе и за то, что он никогда не кичится и не подавляет своей эрудированностью) добавил один штрих: «На самом деле Колосс Родосский, как и статуя Свободы, был полым: бронзовые пластины и железные арматурные прутья. Следовательно, при увеличении высоты в n раз цена вырастала всего лишь в n 2раз». Все равно чересчур для бедняги Хареса.

Впервые я узнал об этом в колледже из курса Лори Сантос «Секс, эволюция и человеческая природа». Нет, я, конечно, уже знал, что великанов не существует, но объяснения профессора Сантос (возможно, как я сейчас вижу, вдохновленные Холдейном) помогли сформировать костяк этой главы.

Пожалуйста, дозвонитесь до ваших сенаторов и убедите их профинансировать жизненно важные объекты инфраструктуры Дуэйна Джонсона, пока не стало слишком поздно.

Математика сопротивления воздуха лежит в основе еще одной короткой басни: «Зачем большим кораблям огромные паруса». Когда вы удваиваете размеры вашего корабля, его площадь (2D) учетверяется, но масса (3D) увеличивается в восемь раз. Вы будете ловить относительно меньше ветра, если не измените пропорции. Поэтому, если корабль в два раза длиннее, его мачты примерно в три раза выше.

Джон Коуэн добавляет: «Еще одна особенность муравьев — у них нет кровеносной системы, потому что они настолько малы, что не требуется внутренняя жидкость, чтобы распространять по телу кислород». Для существ, у которых меньше объема на единицу площади, достаточно диффузии.

См. www.thechalkface.net/resources/baby_surface_area.pdf. Эта виньетка черпает вдохновение из блога учителя математики под ником The Chalk Face [Лицо, испачканное мелом].

Вот еще несколько историй, не уместившихся в этой главе:

1. Почему большие воздушные шары более рентабельны? Потому что цена материала зависит от площади поверхности (2D), а подъемная сила от объема гелия (3D).

2. Почему огромных диноптиц, например индеек, приходится так долго держать в духовке? Потому что количество поглощаемого тепла растет при увеличении площади поверхности (2D), но требуется тем больше тепла, чем больше объем (3D).

3. Почему сухая пшеница совершенно безопасна, а пшеничная мука взрывоопасна? Потому что экзотермические химические реакции происходят на поверхности вещества, и крохотные частицы пыли имеют куда большую суммарную площадь поверхности на единицу объема площади, чем цельные колосья пшеницы.

Впервые я узнал о парадоксе Ольберса от Питера ван Доккума, который вел курс, посвященный галактикам и космологии. Если вас восторгает (или раздражает) эклектизм этой главы, то причина только в том, что я получил образование по системе свободных искусств и наук (Liberal Arts).

Я уступлю последнее слово Джону Коуэну: «Что, если между нами и звездами есть какие-нибудь Темные Вещи (планеты, пыль и т. д.)? Не станут ли некоторые звезды из-за этого невидимыми, не исчезнет ли парадокс? Нет, потому что звезды, заслоненные Темными Вещами, со временем разогрели бы их до звездной температуры, упразднив всю темноту».

E. A. Poe, Eureka: A Prose Poem (New York: G. P. Putnam, 1848). [ По Э. Эврика. Поэма в прозе (Опыт о вещественной и духовной Вселенной). Пер. К. А. Бальмонта. — М.: Эксмо,2008.]

Исторические факты, приведенные в этой главе, я почерпнул из трех источников. Перечисляю их по убыванию объема позаимствованной информации:

• Deborah J. Bennett, Randomness (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998).

• «Rollin’ Bones: The History of Dice», Neatorama , August 18, 2014. Из книги Uncle John’s Unsinkable Bathroom Reader , https://www.neatorama.com/2014/08/18/Rollin-Bones-The-History-of-Dice/.

• Martin Gardner, «Dice», in Mathematical Magic Show (Washington, DC: Mathematical Association of America, 1989), 251–62.

У курносого дисфеноида есть два кузена: грани этих полиэдров — равносторонние треугольники, но одни грани все равно будут выпадать чаще, чем другие: (1) трижды наращенная треугольная призма (спасибо за подсказку Лоуренсу Рэкхему) и (2) скрученно удлиненная четырехугольная бипирамида (спасибо за подсказку Тиму Кроссу и Питеру Оллису). Если вы предпочитаете четырехугольные грани, есть и (3) псевдодельтоидальный икоситетраэдр (спасибо за подсказку Александру Мюницу).