Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Стало быть, необходимо зажечь один фитиль с обоих концов, а другой – только с одного конца. Через 30 минут один фитиль сгорит полностью, а другому останется гореть еще 30 минут. В этот момент нужно поджечь другой конец второго фитиля. Зажженный с обоих концов, фитиль сгорит за 15 минут, то есть через 45 минут начиная с момента зажигания.

2. Если поджечь один фитиль с одного конца, он сгорит за 1 час. Если поджечь один фитиль с двух концов, он сгорит за полчаса. Если бы можно было зажечь один фитиль с трех концов, то он сгорел бы за треть часа, или за 20 минут, поскольку горение фитиля в трех местах означало бы, что он сгорит в три раза быстрее, чем в случае, если будет гореть с одной стороны.

Однако у фитиля не три, а два конца. Наверное, вам это известно. Тем не менее это препятствие можно обойти. Для этого нужно разрезать фитиль на две части и зажечь одну часть с двух сторон, а другую только с одной стороны. Теперь фитиль горит в трех местах, чего мы и добивались.

Нам требуется, чтобы фитиль всегда горел в трех местах, поэтому, как только одна часть фитиля полностью сгорит, разрежьте оставшийся фрагмент на две части и подожгите их так, чтобы у одной части горели два конца, а у другой только один. Продолжайте делать так до тех пор, пока оставшийся фрагмент фитиля не станет слишком маленьким, чтобы резать его на части. Фитиль будет непрерывно гореть в трех местах до тех пор, пока не сгорит почти полностью, а значит, он сгорит примерно за 20 минут.

К тексту

Эту задачу впервые сформулировал (и решил) Джон фон Нейман, гениальный математик венгерского происхождения, внесший значительный вклад в каждую область науки, в которой работал, а также открывший некоторые новые научные области.

Орел или решка неправильной монеты не выпадают с вероятностью 50: 50. Тем не менее, если подбросить такую монету дважды, вероятность того, что выпадет орел, а затем решка, равна вероятности того, что сначала выпадет решка, а затем орел. (Формально говоря, если вероятность выпадения орла равна a , а вероятность выпадения решки – b , то вероятность выпадения орла, а затем решки равна a × b ; вероятность выпадения решки, а затем орла – b × a , что эквивалентно a × b. ) Таким образом, чтобы имитировать поведение правильной монеты с помощью неправильной, нужно обозначить вероятности либо «орел, затем решка» (ОР), либо «решка, затем орел» (РО) и подбросить монету дважды. И вы получите следующие варианты: ОР, РО, ОО или РР. В двух последних случаях, когда монета выпадет дважды одной стороной, проигнорируйте результат и снова подбросьте ее два раза. Остановитесь, если выпадет ОР или РО, но продолжайте подбрасывать в случае выпадения ОО или РР. Вероятность выпадения ОР или РО равна 50: 50, что имитирует результат подбрасывания правильной монеты.

К тексту

Взвешивание 1: высыпьте 1 килограмм муки в две чаши весов так, чтобы в каждой чаше было по 500 граммов.

Взвешивание 2: пересыпьте одну из горок муки весом 500 граммов в какую-то емкость, а оставшуюся часть разделите на две чаши, по 250 граммов в каждой.

Взвешивание 3: одну из горок муки весом 250 граммов тоже пересыпьте в емкость. Из другой продолжайте отбирать муку до тех пор, пока остаток не уравновесит две гири суммарным весом 50 граммов (10 и 40 граммов). У вас получится горка муки весом 200 граммов. Мука в емкости будет, соответственно, весить 800 граммов.

К тексту

Нам известно, что с помощью данного набора из шести гирь (1, 2, 4, 8, 16, 32) можно взвесить любое целое число килограммов от 1 до 63, если класть гири на одну чашу.

Требуется определить, как измерить вес от 1 до 40 килограммов с помощью меньшего количества гирь, при условии, что мы можем класть их на любую чашу. Начнем со взвешивания предметов весом от 1 килограмма и больше, используя минимальное количество гирь и добавляя новую гирю только тогда, когда не будет другого выхода; на каждом этапе это будет гиря с максимально возможным весом.

Обозначим две чаши весов символами А и Б. Для того чтобы уравновесить предмет весом 1 килограмм, расположенный на чаше А, необходимо поставить на чашу Б килограммовую гирю. Итак, наш набор килограммовых гирь состоит пока из одной гири.

Чтобы уравновесить предмет весом 2 килограмма на чаше А, нужно положить на чашу Б двухкилограммовую гирю. Однако есть и другой способ, который позволит нам использовать новую гирю с б о льшим весом. Поскольку у нас уже есть гиря весом 1 килограмм, мы могли бы положить предмет весом 2 килограмма и килограммовую гирю на чаше А, уравновесив ее гирей на 3 килограмма на чаше Б.

Не существует других способов уравновесить 2 килограмма с помощью двух разных гирь, поэтому мы используем две гири весом 1 и 3 килограмма.

С помощью гирь на 1 и 3 килограмма мы можем взвесить предметы весом до 4 килограммов. Какая самая большая гиря позволит взвесить 5-килограммовый предмет на чаше А с использованием обеих чаш?

Если повторить описанную выше процедуру и разместить предмет весом 5 килограммов на чаше А со всеми гирями из нашего набора, то есть 1 + 3 = 4 килограмма, то для уравновешивания на чашу Б нам понадобится положить 9-килограммовую гирю.

Теперь мы располагаем гирями 1, 3 и 9 килограммов. С их помощью можно взвесить предметы весом до 13 килограммов. Какая самая большая гиря позволит нам взвесить 14-килограммовый предмет на чаше А, используя обе чаши?

Согласно представленной выше логической схеме, это будет гиря весом 14 + 13 = 27 килограммов.

Теперь наш комплект гирь: 1, 3, 9 и 27 килограммов. Так что далее можем взвесить предметы весом до 40 килограммов. Использование обеих чаш весов позволило нам сократить количество гирь в наборе с шести до четырех.

Возможно, вы заметили закономерность: если гири располагать на одной чаше весов, числа образуют последовательность, каждый очередной член которой в два раза больше предыдущего. Если гири можно класть на обе чаши, то каждый очередной член последовательности будет втрое больше предыдущего. Подобно тому как последовательность удваивающихся чисел соотносится с двоичной системой счисления, последовательность утраивающихся чисел соотносится с троичной системой счисления, то есть с троичными числами, в которых используются только 0, 1 и 2.

Например, число 1020 в троичной системе означает, что в разряде единиц ничего нет, в разряде тройки – 2, в разряде девяток ничего нет, а в разряде двадцати семи находится 1. Следовательно, 6 + 27 = 33, то есть число 1020 в троичной системе соответствует числу 33 в десятичной системе.