Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Когда альпинисту Джорджу Мэллори задали вопрос, зачем он хочет подняться на Эверест, он ответил: «Потому что он существует». Прим. пер .

Исаак Ньютон родился 25 декабря 1642 года по юлианскому календарю (4 января 1643 года – по григорианскому). Прим. пер .

Ball, A Century Ago Einstein Sparked, и Pais, Subtle Is the Lord. Оригинальная статья: Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung.

Усиление света посредством вынужденного излучения. Прим. пер .

Burton, History of Mathematics, и Katz, History of Mathematics, дают полномасштабное (хотя и без подробностей) введение в историю математики от античных времен до XX столетия. На более серьезном математическом уровне тема представлена в Stillwell, Mathematics and Its History. В качестве масштабного гуманистического подхода подойдет книга Kline, Mathematics in Western Culture.

Смотрите раздел 4.5 в книге Burton, History of Mathematics; главы 2 и 3 в книге: Katz, History of Mathematics; главу 4 в книге Stillwell, Mathematics and Its History.

Katz, History of Mathematics, раздел 1.5, представляет различные подходы к измерению площади круга, сделанные в различных мировых культурах. Первое доказательство было представлено Архимедом; смотрите Dunham, Journey Through Genius, глава 4, и Heath, The Works of Archimedes, 91–93.

Henry Mendell, Aristotle and Mathematics, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/aristotle-mathematics/.

Katz, History of Mathematics, 56, и Stillwell, Mathematics and Its History, 54, обсуждают аристотелевскую разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной бесконечностью.

Опираясь на новые свидетельства, Martínez, Burned Alive, утверждает, что Бруно был сожжен за свою космологию, а не за теологию. Смотрите также A. A. Martínez, Was Giordano Bruno Burned at the Stake for Believing in Exoplanets? Scientific American (2018), https://blogs.scientificamerican.com/observations/was-giordano-bruno-burned-at-the-stake-for-believing-in-exoplanets/. Также смотрите D. Knox, Giordano Bruno, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/bruno/.

Эссе Рассела о Зеноне и бесконечности Mathematics and the Metaphysicians, воспроизведено в книге Newman, The World of Mathematics, vol. 3, 1576–90.

Всего в античных трудах упоминается 40 апорий Зенона, но до наших дней дошло 9. Прим. пер .

Mazur, Zeno’s Paradox. Смотрите также Burton, History of Mathematics, 101–2; Katz, History of Mathematics, раздел 2.3.3; Stillwell, Mathematics and Its History, 54; John Palmer, Zeno of Elea, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/zeno-elea/; и Nick Huggett, Zeno’s Paradoxes, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/.

От лат. discretus «отделенный, раздельный». Прим. пер .

Скет – вид вокализа, когда голос используется для имитации музыкального инструмента. Прим. пер .

Greene, The Elegant Universe, главы 4 и 5.

Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 14.

ħ – постоянная Дирака (постоянная Планка – Дирака, приведенная постоянная Планка [видимо, поэтому ее часто называют не «с чертой», а «с планкой»]). Связана с постоянной Планка ℎ (основной константой квантовой теории) соотношением ħ = ℎ/2 π Используется вместо постоянной Планка, чтобы в формулах пропадало часто встречающееся число 2 π Прим. пер .

Greene, The Elegant Universe, 127–31, объясняет, почему физики полагают, что на ультрамикроскопическом уровне планковской длины пространство распадается в квантовую пену. Философскую точку зрения смотрите в: S. Weinstein and D. Rickles, Quantum Gravity, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/quantum-gravity/.

Разумеется, если отвлечься от расстояний, то нам могут понадобиться и б о льшие числа. Скажем, если мы пожелаем сравнить планковский объем (то есть объем крохотного кубика со стороной в планковскую длину) и объем Вселенной. Поскольку объем пропорционален третьей степени длины, то вместо числа 60 получится примерно число 180. По другим оценкам, диаметр Вселенной составляет 1,4∙10 62планковских длин, а объем – 4,5∙10 185 планковских объемов. Прим. пер .

Очерки о его жизни смотрите в Netz and Noel, The Archimedes Codex, и C. Rorres, Archimedes, https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/contents.html. Научную биографию смотрите в работе M. Clagett, Archimedes, в книге Gillispie, Complete Dictionary, vol. 1, с дополнениями, сделанными Ф. Ачерби (F. Acerbi) в томе 19. Математика Архимеда имеется в выдающихся книгах Stein, Archimedes, и Edwards, The Historical Development, глава 2, также смотрите Katz, History of Mathematics, разделы 3.1–3.3, и Burton, History of Mathematics, раздел 4.5. Собрание работ Архимеда представлено в книге Heath, The Works of Archimedes.

Martínez, Cult of Pythagoras, глава 4, знакомит с происхождением многих легенд об Архимеде, включая рассказ об «Эврике» и трагическую историю его смерти от руки римского солдата во время осады Сиракуз в 212 году до нашей эры. Хотя вполне вероятно, что Архимед погиб во время этой осады, нет никаких оснований полагать, что его последними словами были: «Не трогай мои круги!»

Плутарх цитируется по переводу «Марцелла» Джона Драйдена, доступному онлайн на http://classics.mit.edu/Plutarch/marcellu.html. Конкретные фрагменты об Архимеде и осаде Сиракуз также доступны на сайте https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Siege/Plutarch.html.

Плутарх. Сравнительные жизнеописания. Марцелл. Перевод С. П. Маркиша. Прим. пер .

http://classics.mit.edu/Plutarch/marcellu.html.

http://classics.mit.edu/Plutarch/marcellu.html.

Рассказ об «Эврике» в том виде, в котором он был впервые изложен Витрувием, на латинском и английском языках, можно найти на сайте https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/Vitruvius.html. На сайте также есть детский вариант этой истории в изложении писателя Джеймса Болдуина, взятый из книги Thirty More Famous Stories Retold (New York: American Book Company, 1905). К сожалению, Болдуин и Витрувий представляют архимедово решение задачи о золотой короне в чрезмерно упрощенном виде. Rorres предлагает более правдоподобный расчет на https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html, а также догадки Галилея о том, как Архимед мог решать эту задачу: https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/bilancetta.html.

Плутарх. Сравнительные жизнеописания. Марцелл. Перевод С. П. Маркиша. Прим. пер .

http://classics.mit.edu/Plutarch/marcellu.html.

Stein, Archimedes, глава 11, подробно показывает, как Архимед это делал. Приготовьтесь получить некую порцию скучной арифметики.

Автор называет многоугольником и замкнутую ломаную из нескольких точек и соединяющих их отрезков, и плоскую фигуру, которая ограничена такой ломаной. Прим. пер .

Традиция приписывает открытие несоизмеримых отрезков пифагорейцу Гиппасу (V век до нашей эры). Однако неизвестно, какие именно несоизмеримые отрезки он рассматривал. Прим. пер .

Никто не знает, кто первым доказал, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом или (что эквивалентно) диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Известна старая байка, что за это бросили в море пифагорейца Гиппаса. Martínez, Cult of Pythagoras, глава 2, прослеживает происхождение этого мифа и опровергает его. То же самое делает американский кинематографист Эррол Моррис в длинном и чрезвычайно странном эссе в New York Times; смотрите Errol Morris, The Ashtray: Hippasus of Metapontum (Part 3), New York Times, March 8, 2001, https://opinionator.blogs.nytimes.com/2011/03/08/the-ashtray-hippasus-of-metapontum-part-3/.