Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Предполагается, что число π нормально, то есть с одинаковой асимптотической частотой в нем встречаются все цифры, все комбинации из двух цифр, из трех цифр и вообще из любого числа цифр. В частности, это означает, что в нормальном числе рано или поздно встретится любая заданная последовательность цифр (например, номер вашего телефона или закодированная числами полная Британская энциклопедия). Однако пока нормальность π не доказана. Прим. пер .

Перевод оригинального текста Архимеда содержится в книге: Heath, The Works of Archimedes, 233–52. Подробности рассуждения с треугольными осколками, которые я обошел вниманием, смотрите в книгах: Edwards, The Historical Development, 35–39; Stein, Archimedes, глава 7; Laubenbacher and Pengelley, Mathematical Expeditions, раздел 3.2; и Stillwell, Mathematics and Its History, раздел 4.4. Много обзоров на эту тему можно найти в интернете. Один из самых понятных принадлежит Марку Ридеру (Mark Reeder) и представлен на сайте на сайте https://sites.google.com/bc.edu/mark-reeder/publications?authuser=0. Другой, авторства Р. А. Г. Сили (R. A. G. Seely), находится по адресу http://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/NYB/exhaustion2.pdf. Возможно, более простым вам покажется подход с помощью аналитической геометрии, который использует Simmons, Calculus Gems, раздел B.3.

Архимед не был первооткрывателем параболы и других конических сечений. Традиционно считается, что это сделал древнегреческий математик Менехм (примерно 380–320 до нашей эры). Прим. пер .

Arthur Conan Doyle, The Sign of the Four (London: Spencer Blackett, 1890), https://www.gutenberg.org/files/2097/2097-h/2097-h.htm.

Практически все труды Архимеда содержатся в его письмах. Прим. пер .

Оригинал текста смотрите в книге: Heath, The Works of Archimedes, 326 и далее. Применение метода к квадратуре параболы можно найти в книгах Laubenbacher and Pengelley, Mathematical Expeditions, раздел 3.3, и Netz and Noel, The Archimedes Codex, 150–57. Применение метода к некоторым другим задачам о площадях, объемах и центрах тяжести смотрите в книгах: Stein, Archimedes, глава 5, и Edwards, The Historical Development, 68–74.

Полное название этой работы Архимеда – «Метод механических теорем». Автор называет методом и саму работу, и содержащийся в ней способ решения задач. Прим. пер .

Цитируется по книге: Stein, Archimedes, 33.

Цитируется по книге: Netz and Noel, The Archimedes Codex, 66–67.

Heath, The Works of Archimedes, 17.

Dijksterhuis, Archimedes, 317.

Heath, The Works of Archimedes, 17.

Stein, Archimedes, 39–41.

Heath, The Works of Archimedes, 1.

«Прошлое – чужая страна, здесь все по-другому» – первая фраза романа Лесли Хартли «Посредник» (1953). Впоследствии выражение «прошлое – чужая страна» стало названием книги Дэвида Лоуэнталя (1985). Прим. пер .

Кроме «Метода математических теорем», палимпсест содержит еще несколько работ Архимеда, из которых две («Стомахион» и «О плавающих телах») также сохранились только в этом документе. Прим. пер .

Смотрите Netz and Noel, The Archimedes Codex; авторы с пафосом излагают историю утерянной рукописи и ее повторного обнаружения. Этому событию посвящен эпизод американского научно-популярного документального сериала Nova, а сопутствующий сайт содержит хронологию, интервью и интерактивные инструменты; смотрите http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/, а также Stein, Archimedes, глава 4.

Документ, хранившийся в лавре, был известен и раньше. Греческий текст в нем заметили еще в 1840-х годах. То, что текст принадлежит Архимеду, установил в 1906 году датский ученый Йохан Гейберг, который сфотографировал и издал эти работы в собрании сочинений Архимеда в 1910–1915 годах. После этого палимпсест выпал из истории и всплыл только на аукционе Christie’s. К сожалению, к этому времени оказалось, что уже в XX веке некоторые страницы пропали, а один из владельцев добавил несколько иллюстраций, навсегда испортивших текст под ними. С 1998 года началось активное изучение документа. Прим. пер .

Rorres, Archimedes in the Twenty-First Century.

О математике, которая стоит за фильмами, созданными с помощью компьютерных технологий, смотрите книгу McAdams et al., Crashing Waves.

Zorin and Schröder, Subdivision for Modeling, 18.

DreamWorks, «Why Computer Animation Looks So Darn Real», July 9, 2012, https://mashable.com/2012/07/09/animation-history-tech/#uYHyf6hO.Zq3.

Подробности создания «Шрека» ищите на сайте http://cinema.com/articles/463/shrek-production-information.phtml.

«NVIDIA Collaborates with Weta to Accelerate Visual Effects for Avatar», http://www.nvidia.com/object/wetadigital_avatar.html, и Barbara Robertson, «How Weta Digital Handled Avatar», Studio Daily, January 5, 2010, http://www.studiodaily.com/2010/01/how-weta-digital-handled-avatar/.

«NVIDIA Collaborates with Weta».

Burr Snider, «The Toy Story Story», Wired, December 1, 1995, https://www.wired.com/1995/12/toy-story/.

Burr Snider, «The Toy Story Story», Wired, December 1, 1995, https://www.wired.com/1995/12/toy-story/.

Ian Failes, Geri’s Game’ Turns 20: Director Jan Pinkava Reflects on the Game-Changing Pixar Short, November 25, 2017, https://www.cartoonbrew.com/cgi/geris-game-turns-20-director-jan-pinkava-reflects-game-changing-pixar-short-154646.html. Фильм можно посмотреть на https://www.youtube.com/watch?v=9IYRC7g2ICg.

DeRose et al., Subdivision Surfaces. С особенностями компьютерной анимации можно познакомиться на уроках в Академии Хана, созданных в сотрудничестве с Pixar по адресу: https://www.khanacademy.org/partner-content/pixar/modeling-character. Учащиеся и учителя могут также попробовать другие уроки, предлагаемые в Pixar in a Box по адресу: https://www.khanacademy.org/partner-content/pixar. Это отличный способ увидеть, как математика используется для создания кино.

DreamWorks, Why Computer Animation Looks So Darn Real.

Deuflhard et al., Mathematics in Facial Surgery; Zachow et al., Computer-Assisted Planning; и Zachow, Computational Planning.

В американской системе записи дат (сначала месяц, а потом число) 14 марта записывается как 3/14. Поэтому с 1987 года этот день стал неофициальным праздником – Днем числа пи. Строго говоря, отмечать положено 14 марта в 1:59:26, поскольку π = 3,1415926… Прим. пер .

Rorres, Archimedes in the Twenty-First Century, глава 6, и https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Screw/Applications.html.

Справедливости ради, у Архимеда есть одна работа, связанная с движением, хотя это некая искусственная форма движения, обусловленная математикой, а не физикой. Смотрите его труд «О спиралях», воспроизведенный в книге: Heath, The Works of Archimedes, 151–88. Здесь Архимед предвосхитил современные идеи полярной системы координат и параметрических уравнений для точки, движущейся в плоскости. В частности, он рассмотрел точку, равномерно движущуюся в радиальном направлении от начала координат, в то время как сам этот радиальный луч равномерно вращается. Ученый показал, что траектория такой точки будет кривой, известной сегодня как спираль Архимеда. Затем, найдя сумму 1 2+ 2 2+ 3 2+ n 2и применив метод исчерпывания, он нашел площадь, ограниченную одним витком спирали и радиальным лучом. Смотрите книги Stein, Archimedes, глава 9; Edwards, The Historical Development, 54–62; и Katz, History of Mathematics, 114–15.