Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Bradley et al., FBI Wavelet/ Scalar Quantization.

Bradley and Brislawn, The Wavelet/Scalar Quantization; Brislawn, Fingerprints Go Digital; и https://www.nist.gov/itl/iad/image-group/wsq-bibliography.

Kwan et al., Who Really Discovered Snell’s Law? и Sabra, Theories of Light, 99–105.

Mahoney, Mathematical Career, 387–402.

Mahoney, Mathematical Career, 398.

Mahoney, Mathematical Career, 400 (мой перевод слов Ферма с французского).

Принцип наименьшего времени Ферма предвосхитил более общий принцип наименьшего действия. Занимательное и глубоко поучительное обсуждение этого принципа, включая его основания в квантовой механике, смотрите в: R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, «The Principle of Least Action», Feynman Lectures on Physics, vol. 2, глава 19 (Reading, MA: Addison-Wesley, 1964), и Feynman, QED.

Katz, History of Mathematics, 472–73.

Цитируется по: Декарт Р. Геометрия. – М.; Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938. Перевод А. П. Юшкевича. Прим. ред .

Цитируется по: Grattan-Guinness, From the Calculus, 16.

Цитируется по: Mahoney, Mathematical Career, 177.

Simmons, Calculus Gems, 240–41; и Katz, History of Mathematics, 481–84.

Katz, History of Mathematics, 485, автор объясняет, почему, по его ощущениям, Ферма не заслуживает звания изобретателя анализа, и приводит убедительные аргументы.

Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 2, и Katz, History of Mathematics, раздел 10.4.

Другие названия этого эмпирического правила – правило 69 или правило 70. Число 69 дает более точные результаты, однако у числа 72 больше делителей, поэтому оно удобнее для устного подсчета. Прим. пер .

Braun, Differential Equations, раздел 1.3.

Вообще говоря, все логарифмы, с любым основанием, абсолютно взаимозаменяемы, поскольку log a x = log b x ∙ log a b . Поэтому утверждать, что, например, за радиоуглеродным анализом стоят именно натуральные алгоритмы, можно лишь с определенной натяжкой. Прим. ред .

С точностью до постоянного множителя – этим свойством обладает любая функция вида y ( x ) = Ce x , где C – произвольная константа. Прим. ред .

Bolt, Faster than Lightning.

Jonathan Snowden, Remembering Usain Bolt’s 100m Gold in 2008, Bleacherreport.com(August 19, 2016), https://www.olympicchannel.com/en/stories/news/detail/back-to-beijing-usain-bolt-s-100m-world-record-with-an-untied-shoelace/, и Eriksen et al., How Fast. Видео его потрясающего выступления смотрите на https://www.youtube.com/watch?v=qslbf8L9nl0

Snowden, Remembering Usain Bolt’s.

Мой анализ основан на работе A. Oldknow, Analysing Men’s 100m Sprint Times with TI-Nspire, https://rcuk-portscience.wikispaces.com/file/view/Analysing+men+100m+Nspire.pdf. Детали этих двух исследований могут слегка отличаться, поскольку мы использовали разные методы аппроксимации, но в целом наши заключения одинаковы.

Graubner and Nixdorf, Biomechanical Analysis.

Цитата из Picasso Speaks, The Arts (May 1923), взято на http://www.gallerywalk.org/PM_Picasso.htmlиз Alfred H. Barr Jr., Picasso: Fifty Years of His Art (New York: Arno Press, 1980).

Биографическую информацию смотрите в книге: Gleick, Isaac Newton. Смотрите также Westfall, Never at Rest, и I. B. Cohen, Isaac Newton в томе 10 Gillispie, Complete Dictionary, с дополнениями Г. Смита (G. E. Smith) и У. Ньюмэна (W. Newman) в томе 23. О математике Ньютона смотрите Whiteside, The Mathematical Papers, тома 1 и 2; Edwards, The Historical Development; Grattan-Guinness, From the Calculus; Rickey, Isaac Newton; Dunham, Journey Through Genius; Katz, History of Mathematics; Guicciardini, Reading the Principia; Dunham, The Calculus Gallery; Simmons, Calculus Gems; Guicciardini, Isaac Newton; Stillwell, Mathematics and Its History; и Burton, History of Mathematics.

René Descartes, The Geometry of René Descartes: With a Facsimile of the First Edition, перевод: David E. Smith и Marcia L. Latham (Mineola, NY: Dover, 1954), 91. В течение двадцати лет было показано, что Декарт ошибался в отношении невозможности найти точную длину дуг кривых; смотрите Katz, History of Mathematics, 496–98.

Я осовременнил здесь устаревший слог Ньютона для облегчения чтения. Письмо 193 от Ньютона Коллинзу от 8 ноября 1676 года, в книге: Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 179. Опущенный материал касается технических подробностей о классе триномиальных уравнений, к которым относится его заявление. Смотрите A Manuscript by Newton on Quadratures, рукопись 192, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 178.

Письмо 193 от Ньютона Коллинзу от 8 ноября 1676 года, Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 180. Я снова упростил стиль изложения Ньютона.

Katz, History of Mathematics, 498–503, показывает, что Джеймс Грегори и Исаак Барроу связывали задачу определения площади с задачей о касательных и тем самым предвосхищали основную теорему, но заключает, что «никто из этих людей в 1670 году не мог соединить такие методы в реальный вычислительный инструмент для решения задач». Во врезке на странице 521 автор приводит убедительные аргументы, что Ньютон и Лейбниц (в отличие от «Ферма, Барроу и кого бы то ни было еще») заслуживают похвалы за изобретение анализа.

Кинеограф – система создания анимированного изображения, когда отдельные кадры рисуются на отдельных страничках тетради. Если быстро перелистывать эти страницы, получается эффект анимации. Прим. пер .

Разумеется, знали не в такой форме. И у Хейтсбери, и у Орема теорема об ускорении гласила, что расстояние, пройденное телом при равноускоренном движении, равно длине промежутка времени, умноженной на скорость тела в середине этого промежутка времени (то есть на среднюю скорость). При этом у Орема эта идея была изображена графически. Прим. пер .

Katz, History of Mathematics, раздел 8.4.

Вы можете познакомиться в интернете с тетрадью, в которой Ньютон писал в колледже. Адрес страницы, приведенной в основном тексте: http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/260.

Мой рассказ о ранних годах жизни Ньютона основан на книге: Gleick, Isaac Newton.

Йомены – свободные мелкие землевладельцы, которые при этом сами занимались обработкой земли. Прим. пер .

При такой формулировке может сложиться впечатление о бедности семьи Ньютонов. Однако это не так: после смерти Исаака Ньютона осталась очень неплохая по тем временам сумма примерно в 500 фунтов и несколько сотен гектаров земли. Прим. пер .

На самом деле практически втрое. На момент второго брака (в январе 1646 года) Анне (1623–1679) было 22 года, а Барнабасу Смиту (1582–1653) – 62. Нужно добавить, что по условиям брака Смит предоставил Ньютону участок земли, а также принял предложение отремонтировать семейный дом. Прим. пер .

В первый год в Грэнтеме он стал семьдесят восьмым по успеваемости из восьмидесяти школьников. Прим. пер .

Whiteside, The Mathematical Papers, том 1, 96–142, и Katz, History of Mathematics, раздел 12.5. Эдвардс дает увлекательный обзор трудов Валлиса по интерполяции и бесконечным произведениям и показывает, как из попыток обобщить эти результаты появилась работа Ньютона о бесконечных рядах; смотрите Edwards, The Historical Development, глава 7. Мы знаем, когда Ньютон сделал эти открытия, потому что он датировал их в записи на странице 14v своей тетради ( https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/32). Ньютон писал: «В году 1664 незадолго перед Рождеством я… позаимствовал работы Валлиса и впоследствии сделал эти Примечания… зимой 1664–1665 годов. В то время я нашел метод бесконечных рядов. А летом 1665 года, изгнанный из Кембриджа чумой, я вычислил площадь гиперболы… тем же самым методом».