Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> А.х-В;

В данном случае решение точно (в пределах точности вычислений по умолчанию).

Можно также выполнить решение проведя отдельно LU-декомпозицию, что делает наглядным алгоритм решения и операции подстановки:

> P,L,U:=LUDecomposition(A);

> V2:=Transpose(Р).В;

> V3:=ForwardSubstitute(L,V2);

> x:=BackwardSubstitute(U,V3);

> A.x-B;

Выполним теперь решение для тех же исходных данных методом QR-декомпозиции, обозначив метод в функции LinearSolve:

> х := LinearSolve(А, В, method='QR');

> A.x-B;

Другой, более явный, но и более громоздкий метод решения представлен ниже:

> Q,R := QRDecomposition(А);

> V2:=Transpose(Q).B;

> x:=BackwardSubstitute(R,V2);

> A.x-B;

Тут, пожалуй, любопытно, что погрешность вычислений оказалась несколько выше, чем при использовании функции LinearSolve. Однако погрешность не выходит за рамки допустимой по умолчанию.

Выполним решение еще и методом декомпозиции Холесски:

> x:=LinearSolve(А, В, method='Cholesky');

Приведем еще один пример решения системы из четырех линейных уравнений с применением метода декомпозиции Холесски:

> M_temp := Matrix(4, (i,j)->i+i*j-7, shape=triangular[lower]);

M :=M_temp.Transpose(M_temp);

IsMatrixShape(M, symmetric); IsDefinite(M);

> V := <6,1,3,-2>;

> x:=LinearSolve(M, V, method='Cholesky');

> M.x-V;

> M:=Matrix(3, (i,j)->i+2*j-8, shape=triangular[lower]); V:=<7,8,1>;

> x := ForwardSubstitute(M, V);

x := LinearSolve(M, V);

Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы:

> М:=Matrix([[1.,3],[4,5]],datatype=float);

V1:=<1.,2>;

V2:=<7,-11>;

V3:=<-34,-67>;

> LinearSolve(М,);

> М: =Matrix([[1.,3],[4,5]],datatype=float);

ipiv, M := LUDecomposition(M,output=['NAG'], inplace);

LinearSolve([ipiv, M], );

Ha этом мы завершаем обзор пакета LinearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться с множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple и в файле демонстрационных примеров LE_Linear_Solve.mws. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики.

Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее. В области линейной алгебры к таким системам, безусловно, относится система MATLAB [10, 28–34), созданная компанией MathWorks, Inc. Ее название происходит именно от слов MATrix LABoratory — матричная лаборатория.

MATLAB содержит в своем ядре многие сотни матричных функций и является одной из лучших матричных систем для персональных компьютеров. Она реализует самые современные алгоритмы матричных операций, включая, кстати, и алгоритмы NAG. Однако главное достоинство MATLAB — наличие множества дополнительных пакетов как по классическим разделам математики, так и по самым новейшим, таким как нечеткая логика, нейронные сети, идентификация систем, обработка сигналов и др. Знаменитым стал пакет моделирования систем и устройств Simulink, включаемый в пакет поставки системы MATLAB. Последней версией системы является MATLAB 7 SP2.

В то же время нельзя не отметить, что MATLAB — одна из самых громоздких математических систем. Инсталляция ее полной версии занимает около 2 Гбайт дискового пространства. Несмотря на это, интеграция различных математических систем с данной системой, похоже, становится своеобразной модой. Такая возможность предусмотрена и в системе Maple с помощью пакета Matlab.