Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

> restart;

> eq := diff(y(х), х)+ piecewise(х<���х^2-3, ехр(х/2))*y(х);

Используя функцию dsolve, выполним решение этого дифференциального уравнения:

> dsolve(eq, y(х));

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменения х.

Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

> eq := diff(y(х), х$2) + x*diff(y(x), х) + y(х) = piecewise(х > 0, 1);

> dsolve(eq, y(х));

В заключении этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

> eq := diff(у(х), х)=piecewise(х>0, х)*у(х)^2;

> dsolve({y(0)=1, eq}, y(х));

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

> simplify(eval(subs(%, eq)));

Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций этого класса.

В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple введена специальная структура

DESol(expr,vars)

где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная).

Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf. С этим объектом можно обращаться как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами.

На рис. 7.10 показаны примеры применения структуры DESol.

Рис. 7.10. Примеры применения структуры DESol

Обратите внимание на последний пример — в нем структура DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями. Для загрузки пакета используется команда:

> with(DEtools):

Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 9.5 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть во всех реализациях системы Maple:

• DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;

• DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;

• DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;

• Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;

• PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;

• PDEplot — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных;

• autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;

• convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;

• convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;

• dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;

• indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;

• phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;

• reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;

• regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;

• translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;

• untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;

• varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 9.

Для выявления свойств дифференциальных уравнений в Maple 9.5 в составе пакета DEtools имеется консультант (адвизор), вводимый следующей функцией:

odeadvisor(ODE) odeadvisor(ODE, y(х), [type1, type2,...], help)

Здесь ODE — одиночное дифференциальное уравнение, y(x) — неопределенная (определяемая функция), type1, type2, … — опционально заданные множество типов, которые классифицируются и help — опционально заданное указание на вывод страницы справки по методу решения.

Примеры работы с классификатором представлены ниже:

> with(DEtools): ODE := x*diff(y(х),х)+а*y(х)+b*х^2;

> odeadvisor(ODE);

> ОDE1 := x*diff(y(х)^2,х)+а*y(х)+b*х^2;

> odeadvisor(ODE1);

> ODE2 := diff(y(x),x,x,x)+D(g)(y(x))*diff(y(x),x)^3 + 2*g(y(x))*diff(y(x),x) *diff(y(x), x, x)