Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> factor(х^3-3,complex);

Еще одна функция общего назначения — collect — служит для комплектования выражения expr по степеням указанного фрагмента х (в том числе множества либо списка). Она задается в одной из следующих форм:

collect(а, х)

collect(а, х, form, func)

Во второй форме этой функции дополнительно задаются параметры form (форма) и func (функция или процедура). Параметр form может иметь два значения: recursive (рекурсивная форма) и distributed (дистрибутивная форма). Параметр func позволяет задать имя функции, по которой будет идти комплектование expr. Примеры применения функции collect представлены ниже (файл collect):

> collect(х+х^3-2*х,х);

> collect(х+2*у^3+х+3+х^3*у,recursive, х);

> collect(х+2*у^3+х+3+х^3*у,distributive,у);

> f:=а*ехр(х)-ехр(х)*х-х;

> collect(f,ехр(х));

> g:=int(х*(ехр(х)+ехр(-х)),х);

> collect(g,ехр(х));

> р:=х*у+а*х*у+у*х^2-а*у*х^2+х+а*х;

> collect(р,[х,у],recursive);

> collect(р,[х,у],distributed);

> f:=а^3*х^2-х+а^3+а;

> collect(f,х);

> collect(f,х,factor);

> p:=y/x+2*z/x+x^(1/3)-у*х^(1/3);

> collect(р,х);

В Maple входит пакет рациональных нормальных форм RationalNormalForms:

> with(RationalNormalForms);

Этот пакет обеспечивает следующие возможности:

• конструирование полиномиальных нормальных форм рациональных функций;

• конструирование рациональных канонических форм для рациональных функций;

• конструирование минимальных представлений для гипергеометрических термов.

Ввиду очевидности названий функций этого пакета ограничимся примерами его применения (файл rnform):

> F := (n^2-2)*(3*n+3)!/((n+3)!*(2*n+5)!);

> IsHypergeometricTerm(F,n,'certificate');

> certificate;

> (z,r,s,u,v) := RationalCanonicalForm[1](certificate,n);

> MinimalRepresentation[1](F,n,k);

Математический анализ — одна из самых благодатных областей применения систем компьютерной алгебры [36–46]. В этой главе описано решение с помощью СКА Maple наиболее важных задач математического анализа. Особое внимание в этой главе уделено визуализации записи исходных выражений и результатов вычислений, а также проверке последних.

Начнем рассмотрение задач математического анализа с вычисления сумм последовательностей. Вычисление суммы членов некоторой последовательности f(k) при изменении целочисленного индекса k от значения m до значения n с шагом +1, то есть выражения

является достаточно распространенной операцией математического анализа. Для вычисляемой и инертной форм сумм последовательностей служат следующие функции:

sum(f,k);

sum(f,k=m..n);

sum(f,k=alpha);

Sum(f,k);

Sum(f,k=m..n);

Sum(f,k=alpha).

Здесь f — функция, задающая члены суммируемого ряда, k — индекс суммирования, тип — целочисленные пределы изменения k, alpha — RootOf-выражение. Значение n может быть равно бесконечности. В этом случае для n используется обозначение ∞ или infinity. Допустимо (а зачастую рекомендуется с целью исключения преждевременной оценки суммы) заключение f и k в прямые кавычки — например, sum('f', 'k'=m..n). Рекомендуется все примеры проверять после команды restart, убирающей предыдущие определения f и k.

Внимание! При вычислении сумм (и произведений) последовательностей надо строго соблюдать прямой (нарастающий) порядок задания значений индексной переменной суммы. Нарушение этого порядка чревато грубыми ошибками. Так что правила о том, что при измени порядка суммируемых или умножаемых членов последовательности сумма и произведения не меняются в данном случае не поддерживаются на программном уровне.

Простейшими являются суммы последовательностей с фиксированным числом членов. Ниже даны примеры применения этих функций (файл sum):

> restart;k:=2;

> Sum(k^2,k=1..4);

> sum(k^2,k=1..4);

Error, (in sum) summation variable previously assigned, second argument evaluates to k=1..4

> sum('k^2','k'=1..4);

> sum(1/i,i=1..100);

> evalf(%);

Обратите внимание, что во втором примере система отказалась от вычисления, а в третьем даже выдала сообщение об ошибке, связанную с тем, что переменной k перед вычислением сумм было присвоено численное значение 2. После заключения выражения и переменной индекса k в прямые кавычки ошибка исчезла, поскольку такая операция означает, что переменной придается неопределенное значение.

Особый класс образуют последовательности, у которых существует их предел в аналитическом виде. Ниже представлен ряд последовательностей, у которых переменная индекса задается как 0..n или 1..n (файл sum):

> restart;

> sum(k, k=1..n);