Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> z:=(х,y)-> а*х^2 + b*х*y + с*y^2 + d*(х-y);

> xy:=solve({diff(z(x,y),x) = 0, diff(z(x,y),y) = 0},{х,y});

> z(rhs(xy[2]),rhs(xy[1]));

> simplify(%);

Разумеется, подобное решение возможно далеко не всегда, хотя и частные решения данной задачи представляют значительный практический интерес.

Одной из практически важных задач может служить нахождение пика амплитудно-частотной характеристики слабо демпфированной системы с массой m и частотой собственных колебаний ω0. Эту характеристику можно представить следующим известным выражением (файл afc):

> restart;

> A:=A0/sqrt(m^2* (omega0^2-omega^2)^2+gamma^2*omega^2);

Найдя ее производную и, вычислив корни последней, получим:

> dA:=diff(A,omega);

> ss:=solve(dA=0,omega);

Из этих трех частот только одна физически реальна — средняя. Остальные могут быть отброшены. А теперь приведем пример с конкретными числовыми данными:

> AA:=subs(А0=5,omega0=10,m=1, gamma=1, А);

> AAprime :=diff(АА, omega);

> ss1:=solve(AAprime=0,omega);

> evalf(ss1);

Нетрудно подметить, что частота пика амплитудно-частотной характеристики чуть меньше частоты собственных колебаний системы.

Ряд функций служит специально для вычисления экстремумов , максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности. Одна из таких функций extrema позволяет найти экстремумы выражения expr (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях constrs и переменных vars, по которым ищется экстремум:

extrema(expr, constrs)

extrema(expr, constrs, vars)

extrema(expr, constrs, vars, 's')

Ограничения contrs и переменные vars могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных. Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной 's'. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список {}.

Эта функция в предшествующих версиях Maple находилась в стандартной библиотеке и вызывалась командой readlib(extrema). Но начиная с Maple 7 ее можно использовать без предварительного объявления. В этом убеждают приведенные ниже примеры (файл extrema):

> restart:

> z:=(х,y)-> а*х^2 + b*x*y + с*y^2 + d*(х-y);

> extrema(z(х,y),{},{х,y},'s');

> s;

> extrema(а*х^2+b*х+с,{},x,'s');s;

> extrema(х*ехр(-х),{}, х, 's'); s;

> extrema(sin(x)^2,{},x,'s');s;

> extrema(х+у/z,х^2+у^2+z^2=1,{x,y,z},'s');s;

> evalf(%);

Как видно из приведенных примеров, функция extrema возвращает как значения экстремумов, так и значения аргументов, при которых экстремумы наблюдаются. Обратите внимание, что в первом примере результат вычисления экстремума функции z(x,y) оказался тем же, что и в предшествующем разделе. Это говорит в пользу применения функции extrema.

Для проверки оптимизационных алгоритмов существует ряд тестовых функций. Одна из таких функций — функция двух переменных Розенброка. В представленном ниже примере она задана как rf(x,y):

> rf:= (x,у)->100*(у-х^2)^2+(1-х)^2;

> extrema(rf(х,у),{х,у},'s');s;

> evalf(%);

Как нетрудно заметить, минимум этой функции при значениях x=у= 1, равный 0, функцией extrema явно не обнаружен. Однако это не недостаток данной функции, а просто неудачное ее применение. Функция Розенброка имеет минимум значения и для его обнаружения надо использовать функцию minimize, описанную ниже.

Функция extrema дает неплохие результаты при поиске экстремумов простых аналитических функций, не имеющих особенностей. Однако при анализе сложных функций, содержащих функции со сравнением аргумента (например, abs(x), signum(x) и др.) функция extrema часто отказывается работать и просто повторяет запись обращения к ней.

Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) expr служат функции стандартной библиотеки:

minimize(expr, opt1, opt2, ..., optn)

maximize(expr, opt1, opt2, ..., optn)

Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной, так и нескольких переменных. С помощью опций opt1, opt2, …, optn можно указывать дополнительные данные для поиска. Например, параметр 'infinity' означает, что поиск минимума или максимума выполняется по всей числовой оси, а параметр location (или location=true) дает расширенный вывод результатов поиска — выдается не только значение минимума (или максимума), но и значения переменных в этой точке.