Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> Wronskian([t, t^2, t^3], t)

К основным функциям теории поля относятся:

Curl(F) — вычисляет вихрь векторного поля в R³;

Divergence(F) — вычисляет дивергенцию векторного поля;

Flux(f, dom) — вычисляет поток векторного поля в R³;

Gradient(f, с) — вычисляет градиент функции f в пространстве от R nдо R;

Del(f, с) и Nabla(f, с) — векторные дифференциальные операторы;

Laplacian(f, с) или Laplacian(F) — вычисляет лапласиан функции f или векторного определения (процедуры) F;

ScalarPotential(v) — вычисляет скалярный потенциал векторного поля;

Torsion(C, t) — вычисляет торсион в R³;

VectorPotential(v) — вычисляет векторный потенциал в R³;

Довольно громоздкие определения этих функций, основанные на использовании криволинейных и поверхностных интегралов, имеются в учебной литературе. Не приводя их, ограничимся приведенными ниже примерами применение указанных выше функций (файл vecft):

> restart:with(VectorCalculus): SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);

> F := VectorField( <-y,x,0> );

> Curl(F);

> Del &x F;

> Nabla &x F;

> CrossProduct(Del, F);

> F := VectorField(<���х^2,y^2,z^2>);

> Divergence(F);

> Flux(VectorField(, cartesian[x,y,z]), Sphere(<0,0,0>, r));

> Gradient(х^3/3+у^2, [x,y]);

> Del(х^2+у^2+z^2);

> Nabla(х^2+у^2+z^2);

> Del . %;

> Laplacian(х^2+у^2+z^2, [x,y,z]);

> Laplacian(f(r,theta,z));

> SetCoordinates('cylindrical' [r, theta, z])

> Laplacian(f(r, theta, z));

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);

> v := VectorField();

> ScalarPotential(v);

> v := VectorField(<-y,0,z>);

> ScalarPotential(v); den := х^2 + y^2 + z^2;

> ScalarPotential((x,y,z) -> /den);

> SetCoordinates('spherical'[r,phi,theta]);

> v := VectorField();

> ScalarPotential(v);

> restart:with(VectorCalculus): simplify( Torsion()) assuming t::real;

> Torsion(t -> <2*t,sin(t),cos(t)>);

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]); v := VectorField();

> VectorPotential(v);

> SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);

> v := VectorField();

> VectorPotential(v);

> simplify(Curl(%));

Обратите внимание на то, что для гарантии правильного выполнения этих команд и отсутствия «зависания» компьютера может потребоваться команда restart и перезагрузка пакета VectorCalculus.

Одним из важнейших приложений пакета VectorCalculus является вычисление длин дуг и площадей сложных поверхностей на основе применения линейных и поверхностных интегралов. Иногда это встречает большие трудности и требует специальных подходов. Примером может служить поверхность, заданная рис. 4.40. Эта поверхность построена с имитацией ее освещения от внешнего источника света.

Рис. 4.40 Сложная поверхность с эффектами ее освещения внешним источником света

Применим обычную процедуру вычисления площади поверхности. Для этого вычислим для нее матрицу якобиана и удалим из нее столбец с нулевыми элементами (файл vecrim):

> J := Jacobian(f, [х, у, z]);

> J := DeleteColumn(J, [3]);

Тогда площадь поверхности вычисляется следующим образом:

> Int(Int(dA, x=0..2*Pi), y=0..2*Pi);

К сожалению, этот двойной интеграл Maple не вычисляет из-за сложности подынтегрального выражения, график которого представлен на рис. 4.41.

Рис. 4.41. График подынтегрального выражения

Для приближенного вычисления площади можно разбить поверхность на достаточное число сегментов и использовать замену интегралов суммами Римана. Оценка нижней и верхней сумм Римана для четверти поверхности (ее одного квадранта) представлена ниже:

> for s from 1 to 8 do

F := (k, t)->subs({x=k*Pi/(10*s), y=t*Pi/(10*s)}, dA):

A||s := evalf((Pi/<10*s))^2*sum(sum(F(p, q), p=0..10*s-1), q=0..10*s-1)):

print(A||s);

end do:

> for s from 1 to 8 do

F := (k, t)->subs({x=k*Pi/(10*s), y=t*Pi/(10*s)}, dA):

Alls := evalf((Pi/(10*s))^2*sum(sum(F(p, q), p=1..10*s),

q=1..10*s)):

print(A||s)

end do:

Поскольку эти суммы явно сходятся, то можно считать применение сумм Римана приемлемым и принять, что площадь данной поверхности приближенно равна:

> Area := 4*7.43;

Приведенный выше пример иллюстрирует трудности вычислений поверхностных интегралов. Разумеется, далеко не всегда Maple требует специальных подходов к вычислению подобных интегралов и многие из них благополучно вычисляются.