Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> SetCoordinates(cartesian);

> + m*;

> ( - ) / h;

> limit(%,h=0);

Обратите внимание на вычисление предела в конце этих примеров. Далее можно отметить операцию точечного умножения, которая иллюстрируется следующими вполне очевидными примерами:

> . ;

> SetCoordinates(polar);

> . ;

> combine(%,trig);

> SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);

> Del . VectorField(<���х^2,у^2,z^2>);

> Del . Del;

> (Del . Del) (f(x,y,z));

> L := VectorField( ) . Del;

> L(f(x,y,z));

Определена также операция кросс-умножения:

> &х ;

> SetCoordinates(cylindrical);

> &x ;

> SetCoordinates(cartesian[x,y,2]);

> Del &x VectorField( );

> L := VectorField() &x Del;

> L(f(x,y,2));

> L := Del &x Del;

> L(f(x,y,z));

В пакете векторных операций определен ряд типовых операций с кривыми. Ниже представлено задание эллиптической кривой и вычисление в аналитической форме нормали и радиуса кривизны (файл vopcurves):

> SetCoordinates(cartesian);

> assume(t::real);

> ell := <2*cos(t),sin(t)>;

> nv := simplify(PrincipalNormal(ell,t));

> len := simplify(LinearAlgebra:-Norm(nv, 2));

> r := simplify(RadiusOfCurvature(ell));

Теперь можно представить саму кривую (эллипс) и ее эволюту (рис. 4.39):

> ev := simplify(ell + r * nv / len);

> plot([[ell[1], ell[2], t=0..2*Pi], [ev[1], ev[2], t=0..2*Pi]]);

Рис. 4.39. Графики кривой — эллипса и ее эволюты

Нетрудно заметить, что для эллипса эволюта представляет собой удлиненную астроиду.

Для вычисления кривизны кривой С используется функция Curvature(C, t) в которой параметр t может и отсутствовать:

> Curvature(, t);

> с := Curvature(t -> ):

> simplify(c(t)) assuming t::real;

> SetCoordinates('polar');

> Curvature():

> simplify(%) assuming t::real;

В аспекте практических приложений векторного анализа и теории поля особый интерес представляют приложения интегрирования пакете VectorCalculus. Так, видоизмененная функция int(f, dom) задает вычисление интеграла от функции f по области dom, например (файл vecint):

> restart:with(VectorCalculus):

> int(х^2+у^2, [x,y] = Circle(<0,1>, r));

> int(sin(х)*cos(у)*tan(z), [x,y,z] = Parallelepiped(0..Pi, 0..Pi/3, 0..Pi/4));

Функция PathInt(f, dom) вычисляет интеграл пути для функции f с R nдо R:

> PathInt(х^2, [х,y] = Line(<0,0>, <1,2>));

> PathInt(х^2+y^2, [х,y] = Circle(<0,0>, 3/2));

> PathInt(1, [х,y] = Ellipse(х^2+y^2/2-1));

Другая функция LineInt(F, dom), где F — вектор или процедура задания векторного поля, dom — параметр, характеризующий направление интегрирования, задает вычисление линейного интеграла в пространстве R n:

> SetCoordinates(cartesian[х,y]);

> LineInt(VectorField(<���х,y>), Line(<0,1>, <2,-5>));

> LineInt(VectorField(), Circlet<0,0>, r));

> LineInt(VectorField(), Ellipse(х^2/4+y^2/9-1));

> LineInt(VectorField(), Arc(Ellipse(х^2/4+у^2/9-1), 0, Pi/2));

Функция ArcLength(C,dom) задает вычисление длины дуги С по известному интегральному выражению для нее:

> ArcLength(, t=0..Pi) assuming r>0;

> ArcLength(t -> , 0..2);

> evalf(%);

Рекомендуется просмотреть различные варианты задания области интегрирования dom в справке по этому пакету.

Пакет VectorCalculus позволяет для заданной функции f задавать несколько матриц специального вида, которые часто используются при решении задач теории поля:

Hessian(f, t) — создание матрицы гессиана;

Jacobian(f, v, det) — создание матрицы якобиана;

Wronskian(f, t) — создание матрицы вронскиана.

Примеры задания таких матриц приведены ниже (файл vecmatrix):

> Hessian(ехр(х*y), [х,y]);

> Hessian(а/(х^2+y^2+z^2), [х, y, z]);

> Н := unapply(%, [a,x,y,z]):

> Н(1/2, 0.3, 0.7, 0.1);

> Jacobian([r*cos(t), r*sin(t)], [r,t]);

> Jacobian([r*cos(t), r*sin(t)], [r,t], 'determinant');

> Wronskian([exp(t),ln(t),sin(t)], t);