Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Преобразования Лапласа широко используются для решения линейных дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Ниже дана пара простых примеров, иллюстрирующих технику такого решения для дифференциальных уравнений второго порядка с применением функции dsolve:

> de1 := diff(y(t),t$2) + 2*diff(y(t),t) + 3*y(t) = 0;

> dsolve({del,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace);

> de2 := diff(y(х),х$2) - y(х) = x*cos(x);

> dsolve({de2,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(x), method=laplace);

Множество примеров на применение преобразования Лапласа можно найти в файле laplace.mws, имеющимся на Интернет-сайте корпорации MapleSoft.

Интегральное преобразование Ханкеля задается следующим выражением:

и выполняется функцией

hankel(expr, t, s, nu)

Здесь expr — выражение, равенство (или множество, или список с выражениями/равенствами), t — переменная в expr, преобразуемая в параметр преобразования s, nu — порядок преобразования. Следующий пример демонстрирует вывод и применения функции Ханкеля:

> convert(hankel(f(t), t, s, v), int);

> hankel(sqrt(t)/(alpha+t), t, s, 0);

> hankel(sqrt(t)*Ci(alpha*t^2),t,s,0);

> hankel(1/sqrt(t)*erfс(alpha*t),t,s,0);

> assume(-1/2<1/2);

hankel(1/sqrt(t)*BesselY(mu,alpha/t),t,s,mu);

> hankel(t^(1/3), t, s, 2);

Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением:

и превращает функцию f(t) в F(s). Обратное преобразование Гильберта означает нахождение f(t) по заданной F(s). Эти преобразования выполняются функциями:

hilbert(expr, t, s)

invhilbert(expr, t, s)

где назначение параметров очевидно. Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:

> restart:with(inttrans):

> assume(-1/2<3/2,nu>0,a>0,alpha>0,beta>0):

> convert(hilbert(f(t),t,s), int);

> convert(invhilbert(f(t),t,s),int);

> hilbert(exp(1), r, z);

> hilbert(f(u), u, t);

> hilbert(%, t, s);

> hilbert(t*f(t), t, s);

> hilbert(t/(t^2+1),t,s);

> invhilbert(%,s,t);

> hilbert(sin(x)/x,x,y);

> hilbert(%,y,2);

> hilbert(Ci(abs(t)),t,s);

> hilbert(signum(t)*Ssi(abs(t)),t,s);

> hilbert(t*f(a*t)^2,t,s);

Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гильберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не всегда восстанавливает функцию f(t) буквально. Иногда преобразование Гильберта (см. последний пример) выражается через само себя. Много интересных примеров на это преобразование Гильберта можно найти в файле gilbert.mws.

Интегральное преобразование Меллина задается выражением

и реализуется функцией

mellin(expr, x, s)

с очевидными параметрами expr, x и s. Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры:

> assume(а>0);

> mellin(x^a,x,s);

> mellin(f(а*х),х,s); mellin(f(a*x), x, s);

> invmellin((gamma+Psi(1+s))/s,s,x,-1..infinity);

Примеры на применение преобразования Меллина можно найти в файле mellin.mws.

Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция

addtable(tname,patt,expr,t,s)

где tname — наименование преобразования, для которого образец patt должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны. Следующие примеры поясняют применение этой функции:

> fouriersin(f(t),t,s);

> addtable(fouriersin,f(t),F(s), t,s);

> fouriersin(f(x),x,2);

В этой главе до сих пор рассматривались точные функции преобразования или представления аналитических функций. Однако часто возникает и другая задача — некоторую совокупность данных, например заданных таблично, надо приближенно представить некоторой известной аналитической функцией. Эта задача решается регрессионным анализом или просто регрессией. Параметры приближающей функции выбираются так, что она приближенно (по критерию минимума среднеквадратической ошибки ) аппроксимирует исходную зависимость. Последняя, чаще всего, бывает представлена некоторым набором точек (например, полученных в результате эксперимента).