Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим Равенство достигается при

Ответ.

24.7.Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2 R (sin x + sin y ) = 4 R sin [ π − α/ 2] cos [ x − y / 2].

Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [ x − y / 2] = 1, т. е. при x − y = 0. Так как x + y = π − α, то x = π/ 2− α/ 2. Следовательно,

AB = ВС = 2 R sin x = 2 R cos α/ 2.

Ответ.2 R cos α/ 2.

24 . 8 .Если катеты основания обозначить через а и b , то боковая поверхность призмы равна

Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b :

Мы получили монотонную функцию от а + b . Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b . Поскольку а + b ≥ 2√ ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.

Ответ.2.

24.9.Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально−симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально−симметричная ей точка многоугольника.

Обозначим через α угол AOK . Тогда По теореме синусов

Чтобы задача имела решение, должно быть OQ ≥ OK , т. е. sin (30° + α) ≤ sin α. Так как угол а больше угла BOA , то α ≥ 60°. Кроме того, можно считать, что α ≤ 90°, т. е. 60° ≤ α ≤ 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие

sin (30° + α) ≤ sin α,

необходимо и достаточно, чтобы 75° ≤ α ≤ 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением α диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, α нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. α = 75°. Тогда , а сторона квадрата равна KO √2.

Ответ.

24.10.Обозначим данную дробь через y . Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения

равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4 у )² − 4 у (6 у − 2) ≥ 0, т. е. 8 у ² + 16 у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y , для которых −1 − √34/ 4 ≤ y ≤ −1 + √34/ 4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.

Ответ. √34/ 4− 1.

24.11.Пусть а , b , с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:

аbс = 7,2, аb + ас + bс ≤ 12, а + b ≥ 5.

Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:

аb + ас + bс = аb + с ( а + b) ≥ аb + 5 с ,

т. е. аb + 5 с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5 с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb , y = 5 с . Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/ 5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.

Ответ.2, 3, 6/ 5.

24.12.Преобразуем данную функцию следующим образом:

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку

|sin (α + x ) sin (α − x )| = ½|cos 2 x − cos 2α|,

то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = −1, если cos 2α ≥ 0, 0 < α ≤ π/ 4, и при cos 2 x = 1, если cos 2α < 0, π/ 4< α < π/ 2.

В первом случае x = π(2 k + 1)/ 2, во втором x = π k . И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < α ≤ π/ 4наибольшее значение функции равно 2 tg² α, а при π/ 4< α < π/ 2равно 2 ctg² α.

Ответ.2 tg² α при 0 < α ≤ π/ 4, 2 ctg² α при π/ 4< α < π/ 2·

24.13.Введем обозначения: arcsin x = α, arccos x = β. Поскольку α + β = π/ 2, то

α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = π³/ 8− 3π/ 2αβ.

Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения αβ. Так как β ≥ 0, то наибольшее значение αβ следует искать при α > 0. В этом случае (α > 0, β > 0) можно записать, что

αβ ≤ ( α + β/ 2)² = π²/ 16.

Наибольшее значение αβ достигается при α = β = π/ 4. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = 1/ √2и равно

π³/ 8 − 3π³/ 32= π³/ 32.

Наименьшее значение произведения αβ, где β ≥ 0, достигается при условии, что α < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины α и β были наибольшими. При x = −1 будет α = − π/ 2, β = π. Именно в этой точке произведение αβ достигает минимума, так как α принимает минимальное, а β — максимальное из возможных значений. Итак, при x = −1 исходная функция имеет наибольшее значение

π³/ 8 + 3π/ 2 π/ 2 π = 7π³/ 8.